MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 193

Części wykresu $f$ leżące pod osią $OX$ odbijamy do góry.

a) $|f(x)|=|-\frac12x+3|$ ma wierzchołek $(6,0)$. b) $|f(x)|=|2|x|-2|=2\,||x|-1|$ ma zera $\pm1$. c) $|f(x)|=|-2|x|+2|=2\,|1-|x||$ ma zera $\pm1$. W b) i c) wykresy wartości bezwzględnych są takie same.

Ze skanu odczytujemy łamaną $f$ i liczymy przecięcia odpowiednich przekształceń z prostą $y=1$.

a) Po odbiciu wszystkich części poniżej osi, poziom $1$ przecina wykres w $10$ punktach.

b) Funkcja $f(|x|)$ kopiuje prawą część wykresu na lewą; na dodatniej półosi są trzy rozwiązania, każde daje parę $\pm x$, razem $6$.

c) Funkcja $f(-|x|)$ kopiuje lewą część; na ujemnej półosi są dwa właściwe argumenty, które po symetrii dają $4$ rozwiązania.

W wyrażeniu $f(|x|)$ wykorzystujemy wyłącznie fragment wykresu $f$ dla $x\in\langle0;4\rangle$ i odbijamy go względem osi $OY$. Ze skanu na $[0,2]$ mamy stałą wartość $2$, a od $(2,2)$ do $(4,-2)$ — odcinek malejący.

a) Wykres jest parzysty, ma dziedzinę $\langle-4;4\rangle$, wartość $2$ dla $|x|\le2$, a następnie odcinki do punktów $(\pm4,-2)$.

b) Fragmenty poniżej osi $OX$ odbijamy do góry. Zera pozostają w punktach $x=\pm3$, a punkty końcowe mają wartość $2$.

Wszystkie wykresy są parzyste, więc szkicujemy je dla $x\ge0$ i odbijamy względem osi $OY$.

a) Minima są w $(\pm3,-4)$, $f(0)=5$. Z równania $(|x|-3)^2=4$ dostajemy zera $x=\pm1,\pm5$.

b) Minimum to $(0,4)$, a miejsc zerowych brak.

c) Minima są w $(\pm1,-4)$, $f(0)=-3$; równanie $(1-|x|)^2=4$ daje zera $x=\pm3$.

Ze skanu funkcja $f$ ma załamania w $(-1,-1),(1,4),(2,1)$; ponadto $f(x)=-1$ dla $x\le-1$ i $f(x)=1$ dla $x\ge2$.

a) Po przesunięciu o $[1,-2]$ otrzymujemy załamania $(0,-3),(2,2),(3,-1)$. Następnie odbijamy względem osi $OX$ fragmenty z ujemnymi wartościami. Dodatkowe zera leżą przy $x=\frac65$ i $x=\frac83$; poziome półproste mają wartości odpowiednio $3$ i $1$.

b) Niech $r=|x|$. Argument $r-1$ jest co najmniej $-1$, więc wykorzystujemy prawą część $f$ i odbijamy ją względem osi $OY$. Po obniżeniu o $2$ wykres jest parzysty, ma punkty $(0,-3),(\pm2,2),(\pm3,-1)$ i wartość $-1$ dla $|x|\ge3$.

a) Funkcja $g(x)=x-[x]$ jest częścią ułamkową liczby $x$. Dla każdego $k\in\mathbb Z$ na przedziale $[k,k+1)$ ma wzór $g(x)=x-k$: od punktu $(k,0)$ domkniętego rośnie do punktu $(k+1,1)$ otwartego.

b) Skan drukowanej strony pokazuje równanie $g(|x|)=g(x)$, podczas gdy Markdown omyłkowo ma $g([x])=g(x)$. Dla $x\ge0$ równość zachodzi automatycznie. Gdy $x<0$, równość części ułamkowych liczb $-x$ i $x$ zachodzi dokładnie dla ujemnych wielokrotności $\frac12$.

Dla każdego $k\in\mathbb Z$ analizujemy odpowiedni przedział jednostkowy.

a) Na $[k,k+1)$ funkcja $-[x]$ ma wartość $-k$.

b) $[-x]=-\lceil x\rceil$: na $(k,k+1]$ wartość wynosi $-k-1$, a w punktach całkowitych $x=k$ jest równa $-k$.

c) Na $[k,k+1)$ mamy $|[x]|=|k|$.

d) Funkcja $[|x|]$ jest parzysta; na zbiorze $|x|\in[k,k+1)$ ma wartość $k$ dla $k=0,1,2,\ldots$.