MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 190

Wykres $g$ otrzymujemy, odbijając każdy punkt $(x,y)$ wykresu $f$ na punkt $(x,-y)$. Dziedzina się nie zmienia, a zbiór wartości zmienia znak. Ze skanu odczytujemy:

a) $f(D)=\langle-1;3\rangle$, więc $g(D)=\langle-3;1\rangle$; b) $f(D)=\langle-2;4\rangle$, więc $g(D)=\langle-4;2\rangle$; c) $f(D)=\langle-2;1\rangle\cup(2;4\rangle$, więc $g(D)=\langle-4;-2)\cup\langle-1;2\rangle$.

Szkic $g$ zachowuje wszystkie współrzędne $x$ i zmienia znaki współrzędnych $y$ w wierzchołkach oraz punktach otwartych i domkniętych.

Punkt wspólny wykresów $y=f(x)$ oraz $y=-f(x)$ musi spełniać $f(x)=-f(x)$, czyli $f(x)=0$.

a) $|x|-1=0$, więc $x=\pm1$. b) $|x|+2>0$ dla każdego $x$, więc punktów wspólnych nie ma. c) $|x-2|=0$, więc $x=2$.

Wykres $g(x)=f(-x)$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OY$. Jeżeli $D_f=\langle a;b\rangle$, to $D_g=\langle-b;-a\rangle$.

a) i b) Ze skanu $D_f=\langle-4;3\rangle$, zatem $D_g=\langle-3;4\rangle$.

c) $D_f=\langle-3;4\rangle$, więc $D_g=\langle-4;3\rangle$. Szkic tworzymy, zamieniając każdy wierzchołek $(x,y)$ na $(-x,y)$.

Dla $g$ zmieniamy znak wartości funkcji. Dla $h(x)=-f(-x)$ najpierw odwracamy warunki po podstawieniu $-x$, a następnie zmieniamy znak.

a)

\end{cases}$$ $$h(x)=\begin{cases}-3&x<-3,\\x&-3\le x\le2,\\2&x>2. \end{cases}$$ b) $$g(x)=\begin{cases}-x-2&x<-1,\\-|x|&-1\le x\le2,\\-3&x>2, \end{cases}$$ $$h(x)=\begin{cases}-3&x<-2,\\-|x|&-2\le x\le1,\\x-2&x>1. \end{cases}$$

Ze skanu wykres $f$ jest łamaną o wierzchołkach $(-3,3),(-1,3),(3,-1),(5,1)$, więc $D_f=\langle-3;5\rangle$ i $f(D)=\langle-1;3\rangle$. Przekształcamy współrzędne:

a) $x\mapsto-x$: wierzchołki $(3,3),(1,3),(-3,-1),(-5,1)$; $D_g=\langle-5;3\rangle$, $g(D)=\langle-1;3\rangle$.

b) $x=2-t$: $(5,3),(3,3),(-1,-1),(-3,1)$; $D_g=\langle-3;5\rangle$, $g(D)=\langle-1;3\rangle$.

c) $x=-t-2$, a wartości rosną o $1$: $(1,4),(-1,4),(-5,0),(-7,2)$; $D_g=\langle-7;1\rangle$, $g(D)=\langle0;4\rangle$.

d) $x=1-t$ i zmiana znaku wartości: $(4,-3),(2,-3),(-2,1),(-4,-1)$; $D_g=\langle-4;4\rangle$, $g(D)=\langle-3;1\rangle$.