MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 186

Z wykresów odczytujemy wierzchołki czerwonych parabol. Ponieważ kształt nie zmienia się względem $y=x^2$, wierzchołek $(p,q)$ daje wzór $f(x)=(x-p)^2+q$:

a) $(2,-2)$: $f(x)=(x-2)^2-2$; b) $(1,2)$: $f(x)=(x-1)^2+2$; c) $(-2,-1)$: $f(x)=(x+2)^2-1$.

Dla $|x-p|+q$ wierzchołkiem jest $(p,q)$, a zbiorem wartości $\langle q;\infty)$. Miejsca zerowe rozwiązujemy z $|x-p|=-q$.

a) Minimum wynosi $3$, więc miejsc zerowych brak.

b) $|x-2|=3$, zatem $x=-1$ lub $x=5$.

c) $|x+1|=2$, zatem $x=-3$ lub $x=1$.

Rozpisujemy wartości bezwzględne na odcinki liniowe i wyznaczamy punkty przecięcia.

a) Przecięcia to $(-4,6)$ i $(2,2)$. Brzeg obszaru przechodzi ponadto przez wierzchołki $(0,-2)$ wykresu $f$ i $(1,1)$ wykresu $g$. Wzór Gaussa dla czworokąta daje $P=11$.

b) Przecięcia to $(-4,7)$ i $(0,3)$, a pomiędzy nimi wykres $f$ ma wierzchołek $(-1,1)$. Pole trójkąta o tych wierzchołkach wynosi $6$.

Ze skanu wykres $f$ ma dziedzinę $\langle-2;6\rangle$, zbiór wartości $\langle-2;4\rangle$ i wierzchołki $(-2,2),(0,2),(1,4),(2,2),(3,4),(6,-2)$. Przesuwamy wszystkie punkty:

a) wektor $[-2,-2]$: $D_g=\langle-4;4\rangle$, $g(D)=\langle-4;2\rangle$. Warunek $g\le0$ odpowiada $f\le2$, stąd $x\in\langle-4;-2\rangle\cup\{0\}\cup\langle2;4\rangle$.

b) wektor $[1,2]$: $D_g=\langle-1;7\rangle$, $g(D)=\langle0;6\rangle$; zero występuje tylko dla $x=7$.

c) wektor $[2,-4]$: $D_g=\langle0;8\rangle$, $g(D)=\langle-6;0\rangle$, więc nierówność zachodzi w całej dziedzinie.

Wykres $y=\sqrt{x}$ ma dziedzinę $\langle0;\infty)$ i zbiór wartości $\langle0;\infty)$. Przesunięcie o $[p,q]$ przesuwa oba przedziały:

a) $[1,3]$: $D_g=\langle1;\infty)$, $g(D)=\langle3;\infty)$; b) $[-4,-2]$: $D_g=\langle-4;\infty)$, $g(D)=\langle-2;\infty)$; c) $[-1,-1]$: $D_g=\langle-1;\infty)$, $g(D)=\langle-1;\infty)$.

Dla przesunięcia o $[p,q]$ dodajemy $p$ do końców dziedziny i $q$ do końców zbioru wartości.

a) $[-7,-1]+2=[-5,1]$, $[5,8]+3=[8,11]$. b) $[-7,-1]-3=[-10,-4]$, $[5,8]-5=[0,3]$. c) Dodajemy $-\frac{19}{3}$ i $\frac{41}{3}$, otrzymując odpowiednio $[-\frac{40}{3},-\frac{22}{3}]$ oraz $[\frac{56}{3},\frac{65}{3}]$.

Wierzchołek $f(x)=|x+2|-3$ to $(-2,-3)$. Porównujemy go z wierzchołkiem każdej funkcji $g$:

a) $(3,0)-(-2,-3)=[5,3]$; b) $(0,1)-(-2,-3)=[2,4]$; c) $(-3,-4)-(-2,-3)=[-1,-1]$.