MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 184

Ponieważ $B=A+\overrightarrow{AB}$, dodajemy odpowiednie współrzędne:

a) $(-3,5)+(9,0)=(6,5)$; b) $(2,2)+(-5,-2)=(-3,0)$; c) $(\frac52,2)+(3,-\frac32)=(\frac{11}{2},\frac12)$; d) $(4,-1)+(-\frac{11}{2},\frac12)=(-\frac32,-\frac12)$.

Z równania $\overrightarrow{AB}=B-A$ mamy $A=B-\overrightarrow{AB}$:

a) $(0,4)-(3,4)=(-3,0)$; b) $(-2,3)-(-3,2)=(1,1)$; c) $(-1,2)-(14,-15)=(-15,17)$; d) $(1,4)-(-22,-28)=(23,32)$.

a) $\overrightarrow{AB}=[\frac12-8,-2-4]=[-\frac{15}{2},-6]$, więc $-\overrightarrow{AB}=[\frac{15}{2},6]=\vec u$.

b) $\overrightarrow{AB}=[3,-\frac{17}{6}]$, więc nie daje wektora przeciwnego. Racjonalizujemy $\frac6{3-\sqrt3}=3+\sqrt3$. Zatem $\overrightarrow{CD}=[3,-\frac{13}{6}]$, a $-\overrightarrow{CD}=[-3,\frac{13}{6}]=\vec u$.

Ze skanu: $P=(-3,-2)$, $Q=(-1,2)$, $P_1=(2,-1)$, $Q_1=(4,3)$.

a) $P_1-P=[5,1]$ (tak samo $Q_1-Q=[5,1]$).

b) Po dodaniu $[2,-2]$ końce obrazu to $P'=(-1,-4)$ i $Q'=(1,0)$.

c) Po dodaniu $[-2,1]$ końce obrazu to $P''=(-5,-1)$ i $Q''=(-3,3)$.

W każdym podpunkcie przesuwamy wszystkie trzy wierzchołki o zadany wektor, wyznaczamy wielokąt wspólny obu trójkątów przez przecięcia ich boków, a następnie stosujemy wzór Gaussa do jego wierzchołków.

a) Po przesunięciu o $[-2,1]$ otrzymujemy $A_1=(-7,-2)$, $B_1=(2,-2)$, $C_1=(-1,4)$. Pole wielokąta wspólnego wynosi $12$.

b) Po przesunięciu o $[-5,-1]$ otrzymujemy $A_1=(-9,-4)$, $B_1=(0,2)$, $C_1=(-6,5)$. Po przycięciu bokami drugiego trójkąta wzór Gaussa daje $\frac72$.

Ze skanu prostokąt ma szerokość $6$ i wysokość $3$. Po przesunięciu osiowo równoległego prostokąta o $[p,q]$ część wspólna ma wymiary $6-|p|$ i $3-|q|$, o ile są dodatnie.

a) $(6-3)(3-2)=3\cdot1=3$.

b) $(6-4\frac12)(3-1)=\frac32\cdot2=3$.

Z $\overrightarrow{BC}=C-B$ i $\overrightarrow{DC}=C-D$: $B=C-[-4,4]=(6,0)$ oraz $D=C-[9,3]=(-7,1)$. W równoległoboku $A=B+D-C$, więc $A=(-3,-3)$.

Obraz przesunięty o $[3,1]$ ma wierzchołki $(0,-2),(9,1),(5,5),(-4,2)$. Przecinamy dwa równoległoboki ich prostymi brzegowymi i liczymy pole otrzymanego wielokąta wzorem Gaussa; wynik to $32$.