MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 17

Obliczamy wartości wyrażeń.

a) $x=-7/2$, $y=-10$, $z=-12$, zatem $z<y<x$.

b) $x=3/2$, $y=1/2$, $z=7/5$, zatem $y<z<x$.

Zamieniamy liczby dziesiętne i mieszane na ułamki, a następnie wykonujemy działania:

a) $(13/15)/(-1/10)+0=-26/3$; b) $2/3-(-1/5):(-3/2)=8/15$; c) $(-1/6):(5/12)-(1/4-3/5)=-1/20$; d) $(1/4+1/8):(1/3)=9/8$; e) $3/5-(2/5):(-1/5)=13/5$; f) $(-31/12):(1/18)-(2/3):(-4/27)=-42$; g) $(4/5):(3/10)-[2/3-(3/8-4/3)]=25/24$; h) $(9/4-16/9):(17/4)=1/9$.

Warunek istnienia trójkąta wymaga, aby suma dwóch krótszych boków była większa od najdłuższego.

a) $x=5/24$, $y=5/12$, $z=5/144$. Mamy $x+z=35/144<60/144=y$.

b) $x=5/2$, $y=43/45$, $z=22/23$. Mamy $y+z=\frac{1979}{1035}<\frac52=x.$ W obu przypadkach nierówność trójkąta jest naruszona.

Korzystamy ze wzoru $\frac2n=\frac1{(n+1)/2}+\frac1{n(n+1)/2}$ dla nieparzystego $n$:

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika: $\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac1{n(n+1)}.$ Każdy składnik sumy zastępujemy więc różnicą. Wyrazy pośrednie redukują się:

Łączna szybkość trzech kranów to $1/6$ basenu na godzinę. Kran C ma szybkość $\frac16-\frac1{12}-\frac1{15}=\frac{10-5-4}{60}=\frac1{60}.$ Czas jest odwrotnością tej szybkości.

Przez pierwsze $4$ godziny kran A napełnia $4\cdot1/6=2/3$ zbiornika. Pozostaje $1/3$. Po odkręceniu B wspólna szybkość wynosi $\frac16+\frac19=\frac5{18},$ więc pozostałe napełnianie trwa $(1/3):(5/18)=6/5$ godziny, czyli $1$ godzinę $12$ minut.