MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 156

Dla $f(x)=x^2$ i $x=-2,-1,0,1,2$ otrzymujemy kolejno $4,1,0,1,4$. Graf łączy więc odpowiednie elementy $X$ i $Y$.

a) $x-3>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x>3$. W podanej dziedzinie spełnia to tylko $4$.

b) $-x>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x<0$. W podanej dziedzinie są to $-3,-2,-1$.

Nierówność $x^2-4<0$ jest równoważna $|x|<2$, więc spośród podanych argumentów spełniają ją $-1,0,1$. Równość $x^2-4=0$ daje $x=\pm2$.

a) Dla argumentów $2$ i $3$ otrzymalibyśmy odpowiednio $\sqrt2$ i $\sqrt3$, które nie należą do przeciwdziedziny $\mathbb Q$.

b) Dla $x=-1$ pierwiastek kwadratowy nie jest liczbą rzeczywistą. W obu przypadkach pewien argument nie otrzymuje wartości w zadanym $Y$.

Dwucyfrowe wielokrotności $k$ liczymy ze wzoru $\lfloor99/k\rfloor-\lfloor9/k\rfloor$. Daje to kolejno: $49-4=45$, $24-2=22$, $19-1=18$, $9-0=9$.

Najmniejsza suma cyfr liczby dwucyfrowej to $1$, największa $18$, a każda liczba pomiędzy nimi występuje. Dla sumy $3$ rozwiązujemy $a+b=3$ przy $a\ge1$: $12,21,30$. Analogicznie dla sumy $7$ otrzymujemy $16,25,34,43,52,61,70$.

Dla liczby trzycyfrowej najmniejsza suma cyfr wynosi $1$, a największa $27$; wszystkie wartości pośrednie są osiągalne. Rozpisując sposoby otrzymania sum $2$ i $3$, dostajemy odpowiednie liczby.

a) Iloczyn cyfr jest zerem, gdy co najmniej jedna cyfra jest zerem. Wśród zapisów od $000$ do $999$ jest $10^3-9^3=271$ takich trójek, ale trzeba odjąć $100$ zapisów z cyfrą setek równą $0$. Otrzymujemy $171$.

b) Dodatnie uporządkowane trójki cyfr o iloczynie $8$ mają postacie: permutacje $(8,1,1)$ — $3$, $(4,2,1)$ — $6$, oraz $(2,2,2)$ — $1$. Razem $10$.