MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 149

Pierwsze równanie po pomnożeniu przez $2$ daje $-3x+2y=5$. Drugie upraszcza się do $x-3y=-1/2$. Eliminacja prowadzi do $x=-2$, a następnie $y=-1/2$. Podstawienie potwierdza obie równości.

Niech $a$ będzie liczbą banknotów 10- i zarazem 50-złotowych. Banknotów 20-złotowych jest $a+7$. Równanie wartości ma postać $10a+20(a+7)+50a=940$, czyli $80a=800$.

Przyjmujemy $\alpha-\beta=30^\circ$. Ponadto $\gamma=\alpha+\beta+20^\circ$ i $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Z dwóch ostatnich równań $2(\alpha+\beta)+20^\circ=180^\circ$, więc $\alpha+\beta=80^\circ$. Rozwiązanie z różnicą daje $\alpha=55^\circ$, $\beta=25^\circ$, a $\gamma=100^\circ$.

Podstawiamy $x=2$, $y=3$. Równania I i III dają odpowiednio $2-6=-4$ oraz $4-9=-5$. Równania II i IV mają lewe strony równe $13$ i $3$, więc nie są spełnione.

Niech obecny wiek każdego bliźniaka wynosi $t$, a Kasi $k$. Warunek sprzed czterech lat daje $(k-4)+2(t-4)=22$, czyli $k+2t=34$. Za dwa lata $k+2=2(t+2)$, więc $k=2t+2$. Stąd $t=8$, $k=18$. Gdy bracia będą mieli po $18$ lat, minie $10$ lat.

Poza trzema monetami 5-złotowymi oznaczmy liczbę monet 2-złotowych przez $a$, wtedy 1-złotowych jest $2a$. Niech monet 10- i 50-groszowych będzie po $b$. Liczba monet daje $3a+2b=28$, a wartość w złotych $15+4a+0{,}6b=42$. Rozwiązanie to $a=6$, $b=5$.

W pierwszym równaniu rozwijamy kwadraty: lewa strona redukuje się do $4x^2$, więc po odjęciu prawej otrzymujemy $x+y=0$. Drugie równanie po rozwinięciu i skróceniu $xy$ daje $x-y=-1$. Dodanie równań prowadzi do $2x=-1$, a stąd $y=1/2$.