MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 150

Niech prędkość wolniejszego rowerzysty wynosi $v$ km/h. Do godziny 14.00 jechał on $4$ godziny, a szybszy z prędkością $v+5$ — $3$ godziny. Zatem $4v=3(v+5)$, więc $v=15$ km/h, a druga prędkość to $20$ km/h. W metrach na sekundę $15/3{,}6=25/6=4{,}166\ldots$.

Po rozwinięciu pierwszego równania wyrazy $x^2$ redukują się i dostajemy $y=5x+1$. Drugie równanie upraszcza się do $2x+y=4$. Podstawienie daje $7x=3$, zatem $x=3/7$ i $y=22/7$. Iloczyn $xy=66/49=1{,}3469\ldots$, więc zapisujemy cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku.

Eliminujemy $y$: pierwsze równanie ma postać $\sqrt2\,x+y=4\sqrt2$, a drugie $x-\sqrt2\,y=2$. Z pierwszego $y=4\sqrt2-\sqrt2\,x$. Podstawienie daje $3x=10$, więc $x=10/3$, a $y=2\sqrt2/3$. Suma wynosi $(10+2\sqrt2)/3=4{,}276\ldots$.

Niech $v$ będzie prędkością własną kajaka, a $p$ prędkością prądu. Pierwszego dnia $3(v+p)+3(v-p)=24$, więc $6v=24$ i $v=4$. Drugiego dnia $2(v+p)+4(v-p)=21$, czyli $6v-2p=21$. Po podstawieniu $v=4$ otrzymujemy $24-2p=21$.

Pierwsze równanie upraszcza się do $-4x+4=-y$, czyli $y=4x-4$. Po pomnożeniu drugiego przez $2$ i redukcji otrzymujemy $y=4$. Stąd $x=2$, więc $P=(2,4)$. W prostokącie $ABCD$ współrzędne spełniają $1\le x\le3$ oraz $1\le y\le6$; otrzymany punkt spełnia obie nierówności.

Eliminacja w układzie daje $x=2m+5$ oraz $y=2m+9$. Obie liczby są ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy $m<-5/2$ oraz $m<-9/2$, czyli łącznie $m<-9/2$. Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest $-5$; dla niej $(x,y)=(-5,-1)$.