MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 146

Podstawiamy kolejno $m=1$ i $m=-2$ oraz porównujemy proporcje współczynników i prawych stron. a) Wyznacznik $m^2-4$: dla $1$ jest niezerowy, a dla $-2$ lewe strony są przeciwne, lecz prawe nie. b) wyznacznik $1-m^2$: dla $1$ równania są równoważne, dla $-2$ wyznacznik jest niezerowy. c) dla $1$ wyznacznik jest niezerowy, dla $-2$ równania są równoważne.

Podstawiamy $x=3$, $y=2$. a) Powstaje układ $3m+2k=5$ i $-4m+3k=2$, którego rozwiązaniem jest $m=11/17$, $k=26/17$. b) Dostajemy $-3m+8k=7$ oraz $m-14k=-8$, więc $k=1/2$ i $m=-1$.

Rozwijamy iloczyny i kwadraty; wyrazy drugiego stopnia redukują się, pozostawiając układy liniowe. Eliminacja daje kolejno pary $(3/2,6)$, $(0,-1)$, $(3/22,2/11)$, $(1,-4)$, $(-1/2,1/2)$ i $(0,0)$. Każdą parę sprawdzamy w równaniach przed rozwinięciem.

a) Rozwiązanie układu ma postać $x=5-3m$, $y=4-2m$. Obie liczby są ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy $m>5/3$ i $m>2$. b) Eliminacja daje $x=3-m$ i $y=4-4m/3$; obie nierówności $x<0$, $y<0$ sprowadzają się do $m>3$.

a) Eliminacja daje $x=m-1$, $y=m-2$. Iloczyn $xy<0$ dokładnie między jego zerami. b) Otrzymujemy $x=(m-5)/9$ oraz $y=(4m-11)/3$; te liczby mają przeciwne znaki między wartościami $11/4$ i $5$.

Obliczamy wyznaczniki po podstawieniu $m\in\{-1,1,2\}$. a) $W=-6(m+1)$: dla $m=-1$ wszystkie równania są proporcjonalne, a dla pozostałych wartości $W\ne0$. b) $W=6(2-m)$: dla $m=2$ lewe strony są proporcjonalne, lecz prawe nie; poza tym $W\ne0$. c) dla $m=1$ drugie równanie ma dwa razy większą lewą stronę, lecz inną prawą; dla $m=-1,2$ wyznacznik jest niezerowy.