MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 140

Niech $x,y$ oznaczają czas jazdy po asfalcie i po drodze gruntowej. Mamy $x+y=5$ oraz $20x+15y=90$. Po odjęciu $15(x+y)=75$ dostajemy $5x=15$, więc $x=3$; przebyta wtedy droga to $20x=60$.

Niech wolniejszy pociąg jedzie z prędkością $v$, a szybszy $2v$. Pierwszy wariant daje odległość $D=(v+2v)\cdot4/3=4v$. Po zwiększeniu wolniejszej prędkości o $10$ mamy $D=(3v+10)\cdot6/5$. Porównanie: $4v=18v/5+12$, więc $v=30$ i $D=120$.

Niech $x$ będzie długością pierwszego odcinka, więc drugi ma $120-x$. Łączny czas $1$ h $45$ min to $7/4$ h, zatem $x/80+(120-x)/40=7/4$. Po pomnożeniu przez $80$ otrzymujemy $x+240-2x=140$, stąd $x=100$.

Z równań $x+y+z=500$ i $x=y+z+40$ wynika $x=270$ oraz $y+z=230$. Równanie wpływów $50x+40y+30z=22300$ redukuje się po podstawieniu do $4y+3z=880$. Odejmując trzykrotność $y+z=230$, dostajemy $y=190$, a $z=40$.

Jeśli krawędzie prostopadłościanu mają długości $a,b,c$, to obwody ścian dają $a+b=13$, $a+c=14$ i $b+c=17$. Dodanie dwóch pierwszych równań i odjęcie trzeciego prowadzi do $2a=10$, zatem $a=5$, a dalej $b=8$, $c=9$.