MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 135

Niech krótszy bok ma długość $x$, a dłuższy $y$. Warunek długości daje $y=2x+3$, a obwód $2x+2y=36$, czyli $x+y=18$. Stąd $3x+3=18$, więc $x=5$ i $y=13$. Pole to $xy$.

Niech boki $a,b$ spełniają $a+b=28$. Są dwa ustawienia proporcji. Z $a+2=(b+6)/3$ otrzymujemy $b=3a$, więc $(a,b)=(7,21)$. Z $b+6=(a+2)/3$ wynika $a=3b+16$, więc $(a,b)=(25,3)$.

Sprzedano $3/4\cdot280=210$ biletów. Dla liczby biletów ulgowych $u$ i normalnych $n$ mamy $u+n=210$ oraz $30u+35n=7000$. Po odjęciu $30(u+n)=6300$ dostajemy $5n=700$.

Niech ceny biletu normalnego i ulgowego wynoszą $n,u$. W sobotę sprzedano $50$ normalnych i $22$ ulgowe, więc $50n+22u=654$. W niedzielę było $70$ normalnych i $42$ ulgowe: $70n+42u=994$. Różnica równań daje $20n+20u=340$, czyli $n+u=17$; podstawienie prowadzi do $n=10$.

Niech szukana liczba ma cyfry $a,b$. Wtedy liczby to $10a+b$ i $10b+a$. Różnica $9(a-b)=36$ daje $a-b=4$, a suma $11(a+b)=110$ daje $a+b=10$. Stąd $a=7$, $b=3$.

Z warunków $A+B=121$ oraz $A=2B+7$ otrzymujemy $3B+7=121$, zatem $B=38$ i $A=83$. Istotnie cyfry obu liczb są zapisane w odwrotnej kolejności.

Warunki dają bezpośrednio układ $A-B=320$ i $A+B=388$. Po dodaniu równań otrzymujemy $2A=708$, zatem $A=354$, a $B=34$. Usunięcie cyfry dziesiątek $5$ z liczby $354$ rzeczywiście daje $34$.

Niech cyfry liczby $y$ będą kolejno $a,b,c$, więc $x-y=99(c-a)=396$ i $c=a+4$. Z sumy cyfr $a+b+c=16$ wynika $b=12-2a$. Dla cyfr $a=1,2,3,4,5$ tylko $a=4$ daje poprawne cyfry z wymaganym powtórzeniem: $(a,b,c)=(4,4,8)$; pozostałe wybory są niedozwolone albo dają trzy różne cyfry.

Stosunek stojących do siedzących $1:4$ przy $180$ osobach oznacza $36$ stojących i $144$ siedzących. Jeśli ustawiono $k$ trzyosobowych kanap, to liczba miejsc siedzących wynosi $60+3k$. Zatem $60+3k=144$.