MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 134

Niech $s$ i $o$ oznaczają obecny wiek syna i ojca. Dziewięć lat temu $o-9=6(s-9)$, a za dziewięć lat $(o+9)+(s+9)=85$, czyli $o+s=67$. Z pierwszego równania $o=6s-45$; stąd $7s=112$.

Niech każda bliźniaczka ma obecnie $a$ lat, a brat $b$ lat. Dwa lata temu $2(a-2)+(b-2)=45$, więc $2a+b=51$. Za trzy lata $2(a+3)=(b+3)+12$, czyli $2a-b=9$. Dodanie równań daje $4a=60$.

Jeśli $x$ i $y$ są liczbami monet 2- i 5-złotowych, to $x+y=30$ oraz $5{,}21x+6{,}54y=169{,}6$. Po odjęciu $5{,}21(x+y)=156{,}3$ otrzymujemy $1{,}33y=13{,}3$, więc $y=10$.

a) Dla obecnego wieku Darii $d$ i Marii $m$ mamy $d-5=(m-5)/2$ oraz $m-d=5$. Po podstawieniu $m=d+5$ dostajemy $d=10$, $m=15$. b) Dla wieku Olka $o$ i Alka $a$: $o+3=1{,}5(a+3)$ oraz $o-9=2(a-9)+2$. Rozwiązanie układu to $o=27$, $a=17$.

Poza ośmioma monetami 2-złotowymi niech będzie $x$ monet 1-złotowych i $y$ monet 5-złotowych. Liczba monet daje $x+y=12$, a wartość $x+5y+16=48$, czyli $x+5y=32$. Odejmując równania, dostajemy $4y=20$.

Oznaczmy liczby monet 1-, 2- i 5-złotowych przez $x,y,z$. Mamy $x+y+z=32$, $x+2y+5z=100$ oraz $z=2x+2$. Po podstawieniu ostatniej zależności do dwóch pierwszych i eliminacji otrzymujemy $x=6$, a następnie $z=14$ i $y=12$.

Po odłożeniu jednej monety 25-centowej pozostaje $11$ monet o wartości $75$ centów. Dla liczb $x,y$ monet 5- i 10-centowych mamy $x+y=11$ i $5x+10y=75$. Po podzieleniu drugiego równania przez $5$ i odjęciu pierwszego otrzymujemy $y=4$.

Niech $x,y,z$ oznaczają liczby monet 5-, 10- i 25-centowych. Mamy $x+y+z=29$, $5x+10y+25z=400$ oraz $y=3x$. Po podstawieniu $y=3x$ dostajemy $4x+z=29$ i $35x+25z=400$. Eliminacja daje $x=5$.