MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 13

Uwzględniamy $0$, bo jest liczbą naturalną podzielną przez każdą dodatnią liczbę. Liczba wielokrotności $d$ w zbiorze $\{0,1,\ldots,200\}$ wynosi $\lfloor200/d\rfloor+1$. Otrzymujemy kolejno $40+1$, $25+1$, $22+1$ i $18+1$.

Dzielimy $n$ przez $5$; reszta z dzielenia jest szukanym $r$: $39=5\cdot7+4,\quad62=5\cdot12+2,$ $156=5\cdot31+1,\quad275=5\cdot55+0.$

Wyznaczamy reszty z dzielenia przez $6$: $46=6\cdot7+4,\quad74=6\cdot12+2,$ $147=6\cdot24+3,\quad276=6\cdot46.$ Dozwolone są tylko reszty $1,2,3$.

Jeśli pierwsza liczba nieparzysta to $a$, dwie następne wynoszą $a+2$ i $a+4$, więc ich suma jest równa $3a+6$. Podstawiamy kolejno podane wyrażenia za $a$.

a) Wśród trzech kolejnych liczb $n,n+1,n+2$ jedna jest parzysta i jedna jest podzielna przez $3$. Iloczyn zawiera więc czynniki $2$ i $3$, czyli jest podzielny przez $6$.

b) Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych ma postać $2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)=8n(n+1)(n+2).$ Iloczyn w nawiasie jest podzielny przez $6$ na mocy części a), zatem całość dzieli się przez $8\cdot6=48$.

c) Wśród czterech kolejnych liczb jest wielokrotność $4$, druga liczba parzysta oraz wielokrotność $3$. Iloczyn zawiera zatem czynniki $4\cdot2\cdot3=24$.

W ilorazie $\operatorname{NWW}/\operatorname{NWD}$ dla każdej podstawy pierwszej pozostaje różnica większego i mniejszego wykładnika:

a) $2^{3-2}3^{4-3}=6$; b) $2^{2-1}3^{4-3}5^{2-0}=150$; c) $5^{2-1}7^{3-1}=245$; d) $2^{1-0}5^{3-2}7^{1-0}=70$.

Stosujemy algorytm Euklidesa w wersji z resztami:

a) $72=1\cdot48+24$, $48=2\cdot24$, więc NWD $=24$.

b) $600=1\cdot360+240$, $360=1\cdot240+120$, $240=2\cdot120$, więc NWD $=120$.

c) $253=3\cdot69+46$, $69=1\cdot46+23$, $46=2\cdot23$, więc NWD $=23$.