MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 113

Stosujemy różnicę kwadratów:

Dla $x=1/4$, $y=\sqrt3/4$ otrzymujemy $-16\cdot\sqrt3/16=-\sqrt3$.

Prawa strona jest różnicą kwadratów:

Zatem $9-12x+4x^2\le4x^2-3$, czyli $-12x\le-12$ i $x\ge1$.

Dwie kolejne liczby nieparzyste zapiszmy jako $2n-1$ i $2n+1$. Różnica kwadratu większej i mniejszej wynosi

Przenosimy prawą stronę na lewą:

Stąd $a^2\ge b(2a-b)$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$.

Ponieważ $\frac1{2-\sqrt3}=2+\sqrt3,$ warunek ma postać $2+\sqrt3\le|x|<9$. Dla całkowitych $x$ oznacza to $|x|\in\{4,5,6,7,8\}$. Każda dodatnia wartość daje dwa znaki.

Usuwamy niewymierność: $\frac1{1-\sqrt3}=-\frac{1+\sqrt3}{2}.$ Nierówność $3-x<-(1+\sqrt3)/2$ daje $x>(7+\sqrt3)/2$. Zatem $A=((7+\sqrt3)/2,\infty)$. Odejmując ten zbiór od $B=[-5,5]$, zachowujemy punkt graniczny.

Nierówność jest równoważna $2\le(2-\sqrt2)x.$ Ponieważ $2-\sqrt2>0$, wystarczy $x\ge2/(2-\sqrt2)=2+\sqrt2$. Mamy $2+\sqrt2<7/2$, więc każdy $x>7/2$ spełnia ten warunek.

Pierwsza nierówność po pomnożeniu przez $4$ daje $2-2x<5-x$, czyli $x>-3$.

W drugiej po rozwinięciu skracają się składniki $4x^2$: $4x^2-4x+1\ge4x^2-7$, więc $x\le2$. Przecinamy oba zbiory.

Pierwsza nierówność upraszcza się do $x\le9/2$, a druga do $x\ge1/2$. Część wspólna to $[1/2,9/2]$, w którym leżą liczby całkowite $1,2,3,4$.

Każda liczba nieparzysta ma postać $2k+1$, a jej kwadrat $4k(k+1)+1$. Iloczyn $k(k+1)$ jest parzysty, więc każdy kwadrat liczby nieparzystej daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $8$. Suma czterech takich kwadratów daje zatem resztę $1+1+1+1=4$.