MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 112

Sześciany liczb naturalnych mniejsze od $200$ to $0,1,8,27,64,125$. Spośród nich $0,1,64$ są również kwadratami. W zbiorze $B\setminus A$ pozostają więc $8,27,125$, czyli trzy liczby.

Usuwamy niewymierność: $\frac1{1-\sqrt2}=-(1+\sqrt2).$ Nierówność $-x<-1-\sqrt2$ jest równoważna $x>1+\sqrt2$. Ponieważ $2<1+\sqrt2<3$, najmniejszą liczbą całkowitą jest $3$.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

Ponieważ $ab=(3+\sqrt2)(3-\sqrt2)=7$, wynik wynosi $1/7$.

Mamy $\pi\approx3{,}14159>3{,}14$, więc $\pi$ należy do przedziału $(3{,}14,\infty)$.

Rozkładamy $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=48.$ Dodatnie pary dzielników o tej samej parzystości to $(2,24),(4,12),(6,8)$. Dają one odpowiednio $(x,y)=(13,11),(8,4),(7,1)$.

Rozwijamy oba kwadraty: $(6-3\sqrt3)^2=63-36\sqrt3,$ $(5-2\sqrt3)^2=37-20\sqrt3.$ Różnica wynosi $26-16\sqrt3$, zatem $b=-16$.

Po rozwinięciu stron skracają się składniki $2x^2$: $2\sqrt2x+1=2x+2,$ $2(\sqrt2-1)x=1.$ Stąd $x=1/[2(\sqrt2-1)]=(\sqrt2+1)/2$.

Mamy $(\sqrt6-\sqrt3)^2=9-6\sqrt2.$ Wyrażenie $a-9+6\sqrt2$ jest wymierne, gdy $a=-6\sqrt2$.

Dla $x=-4$ mamy $|x|=|-x|=4$. Wtedy $|x-|x||=|-4-4|=8$. Pozostałe podane równości są fałszywe.

Wyznaczamy po dwa rozwiązania: A: $-8,4$; B: $-3,5$; C: $-3,1$; D: $0,6$. Tylko w D oba należą do $[-2,6]$.

W B nierówność $|x-3|\le1$ daje przedział $[2,4]$, zawierający dokładnie liczby całkowite $2,3,4$. Pozostałe warianty zawierają odpowiednio $11,1,11$ liczb całkowitych.