MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 114

Mamy $1/(1-\sqrt2)=-1-\sqrt2$. Nierówność $-0{,}01x<-1-\sqrt2$ po pomnożeniu przez $-100$ i odwróceniu znaku daje $x>100(1+\sqrt2)\approx241{,}42$. Najmniejsza liczba naturalna to $242$.

Najpierw $A\cap B=[-100,-6)\cup[4,36].$ Po odjęciu $C=[-8,4]$ otrzymujemy $[-100,-8)\cup(4,36]$. Pierwszy przedział zawiera $92$ liczby całkowite od $-100$ do $-9$, a drugi $32$ liczby od $5$ do $36$. Razem jest ich $124$.

Podstawiamy $x=\sqrt2k$: $|2\sqrt2k-3|<241.$ Stąd $-238<2\sqrt2k<244$, czyli $-119/\sqrt2<k<122/\sqrt2$. Granice są w przybliżeniu $-84{,}15$ i $86{,}27$, zatem najmniejszy element $A$ to $-84$, a największy $86$. Ich różnica wynosi $170$.

Warunek dla $x$ daje całkowite wartości od $-27$ do $33$, czyli $61$ możliwości. Warunek dla $y$ daje wartości od $-62$ do $58$, czyli $121$ możliwości. Zatem $m=61\cdot121=7381$.

Jeśli $n$ nie dzieli się przez $3$, to ma postać $3k+1$ albo $3k+2$. W pierwszym przypadku $(3k+1)^2=3(3k^2+2k)+1$, a w drugim $(3k+2)^2=3(3k^2+4k+1)+1$. W obu przypadkach reszta wynosi $1$.

Po przeniesieniu prawej strony na lewą otrzymujemy

Jest to suma kwadratów pomnożonych przez nieujemne współczynniki.

Rozkładamy różnicę potęg:

Pierwszy czynnik jest równy $(137-119)(137+119)=18\cdot256=9\cdot2^9$. Każdy z dwóch pozostałych nawiasów jest parzysty, bo jest sumą dwóch liczb nieparzystych. Cały iloczyn zawiera więc czynnik co najmniej $2^9\cdot2\cdot2=2^{11}$.

Wyrażenie pod pierwiastkiem jest kwadratem: $x^2-4\sqrt3x+12=(x-2\sqrt3)^2.$ Ponadto $\frac3{2\sqrt3-3}=3+2\sqrt3.$ Otrzymujemy $|x-2\sqrt3|<3+2\sqrt3$, czyli $-3<x<3+4\sqrt3$. Prawa granica leży między $9$ i $10$.

Rozpoznajemy kwadraty: $\sqrt{13-4\sqrt3}=2\sqrt3-1,$ $\sqrt{21-12\sqrt3}=2\sqrt3-3.$ Ich różnica wynosi $2$, więc $A=(-\infty,2]$. Ponadto $|2x+12|\ge2$ daje $B=(-\infty,-7]\cup[-5,\infty)$. Po odjęciu $A$ pozostają liczby większe od $2$.