MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 110

Wypisujemy elementy lub upraszczamy przedziały.

a) $X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}=T$, natomiast $Y$ nie zawiera $-3$. b) $X=(2,7]=Y$, natomiast $T$ nie zawiera $4$. c) $X=\{0,1,\ldots,6\}=Y$, natomiast $T$ nie zawiera $6,7$.

a) $A=(-2,0)\cup(0,2)$, a $B=(-\infty,4]\cup[6,\infty)$, więc $A\subset B$.

b) $A=(-\infty,-4]\cup[2,\infty)$, a $B=(-\infty,-5)\cup(11,\infty)$, więc $B\subset A$.

c) $A=[-3,-1)\cup(1,3]$, natomiast $B=(-3,13)$. Punkt $-3$ pokazuje, że $A\not\subset B$, a np. $0$ — że $B\not\subset A$.

Rozmnażamy nawiasy i upraszczamy iloczyny pierwiastków. W e) i f) korzystamy z sumy lub różnicy kwadratów, a w h) najpierw łączymy czynniki sprzężone.

W każdym układzie upraszczamy obie nierówności i przecinamy ich zbiory rozwiązań.

a) $x>2/7$ oraz $x\le1$. b) $x\le9/2$ oraz $x\ge1/2$. c) $x<6$ oraz $x\le3/4$. d) $x\le-6/5$ oraz $x\ge6$ — brak części wspólnej. e) $x<7/2$ oraz $x<8$. f) $x<1$ oraz $x\le1$.

Zbiory są prostokątami lub sumami prostokątów. Liczby punktów kratowych liczymy jako iloczyny liczb dopuszczalnych całkowitych wartości $x$ i $y$.

a) $7$ wartości $x$ i $5$ wartości $y$: $35$. b) $8$ wartości $x$ oraz tylko $y=0$: $8$. c) $4$ wartości $x$ i $6$ wartości $y$: $24$. d) Są $4$ całkowite wartości $x$, ale nie istnieje całkowite $y$ z $1<|y|<2$: $0$.

a) Zapiszmy $p=4m+1$ i $q=4n+3$. Wtedy $p^2=4(4m^2+2m)+1,$ $q^2=4(4n^2+6n+2)+1.$ Oba kwadraty dają więc resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$.

b) Kwadraty reszt $0,1,2,3,4$ modulo $5$ dają kolejno $0,1,4,4,1$. Równe reszty dla różnych $k<l$ występują zatem dla par $(1,4)$ oraz $(2,3)$.