MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 109

Z zasady włączeń i wyłączeń liczba znających co najmniej jeden język wynosi $90+81+75-45-25-20+4=160.$ Pozostałych jest $180-160=20$.

Przyjmujemy zgodnie z podręcznikiem $A=\{0,1,\ldots,14\}$. Wypisujemy wielokrotności $3$, liczby pierwsze oraz liczby dające resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$, a następnie wykonujemy działania zbiorowe.

Dla każdej pary zaznaczamy wspólną część, sumę i części należące tylko do jednego przedziału. Szczególnie pilnujemy końców domkniętych.

Mnożymy każdy składnik pierwszego wielomianu przez każdy składnik drugiego i redukujemy wyrazy podobne. W e) zauważamy też, że drugi nawias jest przeciwny do pierwszego, a w f) najpierw mnożymy $(x+y)(x-y)$.

Porównujemy liczby z kolejnymi całkowitymi granicami.

a) $2^3<17<3^3$, więc $2\le x<3$. b) $(-3)^3<-25<(-2)^3$, więc $-3\le x<-2$. c) $0<(3-2\sqrt2)^2<1$. d) $27-10\sqrt2=(5-\sqrt2)^2$, więc $x=5-\sqrt2\in[3,4)$.

Po sprowadzeniu nierówności do postaci z samym $x$ otrzymujemy:

a) $x<15/2$, więc $x=0,\ldots,7$ — $8$ liczb; b) $x\le29/4$, więc $0,\ldots,7$ — $8$; c) $x\le37/17$, więc $0,1,2$ — $3$; d) $x<69/16$, więc $0,1,2,3,4$ — $5$.

Rozwiązujemy obie nierówności i bierzemy część wspólną:

a) $|x|>1$ z $|x|\le9$; b) $x\le-2$ lub $x\ge2$ z przedziałem $(-2,6)$; c) $(-4,4)$ z warunkiem $x\le-3$ lub $x\ge1$.

Najpierw zapisujemy $A=(-1,7)$, $B=(-\infty,-5]\cup[1,\infty)$ i $C=(-\infty,-3]\cup[3,\infty)$, a następnie wykonujemy działania.