MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 108

Sprawdzamy cztery możliwe pary wartości $(p,q)$. Wartości $\sim(p\lor q)$ to kolejno dla $(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)$: $0,0,0,1$. Wartości $(\sim p)\land(\sim q)$ są dokładnie takie same: $0,0,0,1$. Równoważność obu stron ma więc w każdym wierszu wartość $1$.

a) Jedno ze zdań $p,\sim p$ jest zawsze prawdziwe.

b) Podwójne zaprzeczenie ma tę samą wartość co $p$.

c) $p\land\sim p$ jest zawsze fałszywe, więc jego zaprzeczenie jest prawdziwe.

d) Jeśli poprzednik jest prawdziwy, to prawdziwe są $p$ oraz $p\Rightarrow q$, co wymusza prawdziwość $q$; przy fałszywym poprzedniku implikacja też jest prawdziwa.

e) $p\Rightarrow q$ i $\sim q\Rightarrow\sim p$ są fałszywe dokładnie dla tej samej pary $p=1,q=0$.

f) Obie strony są prawdziwe dokładnie wtedy, gdy $p=1,q=0$, bo tylko wtedy implikacja $p\Rightarrow q$ jest fałszywa.

a) Nie jest prawem: dla $p=1,q=0$ poprzednik całej implikacji jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

b) Jest prawem (modus tollens): jeśli $p\Rightarrow q$ i $\sim q$, to $\sim p$.

c) Jest prawem: przy prawdziwym $p$ składnik $\sim p$ jest fałszywy, więc prawdziwość alternatywy wymusza $\sim q$.

d) Jest prawem — przechodniośc implikacji.

e) Nie jest prawem: dla $p=0,q=1,r=0$ poprzednik jest prawdziwy, a $q\Rightarrow r$ fałszywe.

f) Jest prawem; obie strony upraszczają się do $\sim p\lor\sim q\lor r$.