MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 104

Rozpatrujemy dwa znaki wyrażenia pod modułem:

a) $2x-8=\pm4$; b) $4x+2=\pm6$; c) $x/2-1=\pm3$; d) $2x/3+4=\pm2$; e) $10-x=\pm4$; f) $1-3x=\pm6$.

Sprowadzamy każdą nierówność do odległości od pewnego punktu:

a) $|x+2|\le4$; b) $|x-3|\ge2$; c) $|2x+1/2|>2$; d) $|2-x/3|<1$; e) $|x+4|\ge2$; f) $|3+5x|<1$; g) moduł musi być zerem; h) moduł ma być dodatni; i) moduł jest zawsze co najmniej $-1$.

Każdy pierwiastek jest modułem odpowiedniego dwumianu:

a) $|x+5|=5$; b) $|x-3|=2$; c) $|x-1|=1$; d) $|2x+1|=3$; e) $|x+1/2|=4$; f) $|3x-2|=6$.

a) Prawa strona jest równa $|4-2\sqrt2|+|4-3\sqrt2|=(4-2\sqrt2)+(3\sqrt2-4)=\sqrt2$. Zatem $|x|\le\sqrt2$.

b) Prawa strona wynosi $|3-2\sqrt3|-|2\sqrt3-2|=(2\sqrt3-3)-(2\sqrt3-2)=-1$. Nierówność $|x+1|\ge-1$ zachodzi dla każdego $x$.

Korzystamy z własności $|u|=u$ wtedy i tylko wtedy, gdy $u\ge0$, oraz $|u|=-u$ wtedy i tylko wtedy, gdy $u\le0$.

Dla $x<0$ mamy $|x|=-x$, $x-3<0$ i $x-2<0$.

a) $|x|+x=-x+x=0$.

b) $|x-3|-|x|=(3-x)-(-x)=3$.

c) $|x-2|+x=(2-x)+x=2$.

Punkt $(a+b)/2$ jest środkiem odcinka $[a,b]$. Każdy punkt na lewo od środka leży bliżej $a$ niż $b$, a każdy punkt na prawo — bliżej $b$. W samym środku obie odległości są równe. Ponieważ nierówność jest ostra, środek nie należy do zbioru.

a) Dla $x\ge2$ mamy $|-x|=x$, $|2-x|=x-2$ oraz $|3-2x|=2x-3$. Wyrażenie wynosi $x+(x-2)-(2x-3)=1$.

b) Dla $x\le-3$ mamy $|x+3|=-x-3$, $|-x|=-x$ oraz $|-2x-6|=-2x-6$. Wyrażenie wynosi $(-x-3)+(-x)-(-2x-6)=3$.

Ponieważ $0\le a\le b$, mamy $\sqrt b-\sqrt a\ge0$. Ponadto $a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2,$ $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt b-\sqrt a)^2.$ Pierwiastki są więc równe odpowiednio $\sqrt a+\sqrt b$ i $\sqrt b-\sqrt a$. Ich różnica wynosi $2\sqrt a$.