Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 102

rozdział 2. Jezyk matematyki · temat „2.11. Własności wartości bezwzględnej” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Równanie $|x-c|=r$ dla $r>0$ daje $x=c-r$ lub $x=c+r$ . Dla $r=0$ jest jedno rozwiązanie, a dla $r<0$ nie ma żadnego.

Odpowiedź

a) $x=-1,5$ ; b) $x=0{,}5,7{,}5$ ; c) $x=-8,-4$ ; d) $x=5,7$ ; e) $x=-2\pm\sqrt3$ ; f) $\varnothing$ ; g) $x=-\frac34,\frac14$ ; h) $x=-9$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $a\ne b$ równanie oznacza, że punkt $x$ na osi jest równoodległy od różnych punktów $a,b$ . Jedynym takim punktem jest środek odcinka o końcach $a,b$ , czyli $x=(a+b)/2$ . Algebraicznie po podniesieniu stron do kwadratu:

(x-a)^2=(x-b)^2\iff(b-a)(2x-a-b)=0.

Przy $a\ne b$ drugi czynnik musi być zerem. Jeśli jednak $a=b$ , równanie jest tożsamościowe i spełnia je każdy $x$ , dlatego warunek $a\ne b$ jest konieczny do stwierdzenia jednoznaczności.

Odpowiedź

Dla $a\ne b$ : $x=\frac{a+b}{2}$ . Dla $a=b$ : $x\in\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu