MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 100

Ustalamy znak $x$. W a), b), d) liczba $x$ jest ujemna, zatem $|x|=-x$; w c) jest dodatnia, więc $|x|=x$.

a) $0$ i $-9$; b) $0$ i $3(4-2\sqrt6)=12-6\sqrt6$; c) $2(6\sqrt2-8)=12\sqrt2-16$ i $-(6\sqrt2-8)=8-6\sqrt2$; d) $0$ i $3(\pi-2\sqrt3)=3\pi-6\sqrt3$.

Sprowadzamy każde równanie do postaci $|x|=a$: a) $a=4$; b) $14$; c) $6$; d) $1/4$; e) $1/3$; f) $8$; g) $1$; h) $4$.

Ponieważ $|x|\ge0$, jest ono zawsze większe od $-7$ i zawsze nie mniejsze od $-3$. Nie może natomiast być mniejsze od $-7$ ani nie większe od $-3$.

Zapisujemy symetryczne przedziały i zliczamy liczby całkowite:

a) $(-4,-1)\cup(1,4)$ — $4$ liczby; b) $(-6,0)\cup(0,6)$ — $10$; c) $[-5,-2]\cup[2,5]$ — $8$; d) $[-\pi,-3]\cup[3,\pi]$ — $2$; e) $(-3,-1/2]\cup[1/2,3)$ — $4$; f) $[-6,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,6]$ — $10$; g) $[-9/2,-5/2]\cup[5/2,9/2]$ — $4$; h) $(-5,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,5)$ — $6$.

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$.

a) $|2-\sqrt5|+|7-3\sqrt5|=(\sqrt5-2)+(7-3\sqrt5) =5-2\sqrt5$.

b) $|2\sqrt2-3|+|3\sqrt2-4|=(3-2\sqrt2)+(3\sqrt2-4) =\sqrt2-1$.

Podnosimy wyrażenia wewnątrz modułów do kwadratu:

a) $(\sqrt2-2)^2=6-4\sqrt2$; b) $(\sqrt3-2)^2=7-4\sqrt3$; c) $(2-2\sqrt5)^2=24-8\sqrt5$; d) $(3-2\sqrt3)^2=21-12\sqrt3$.

Ponieważ $\sqrt{u^2}=|u|$, każda z podanych równości jest prawdziwa.

Na skanie A jest środkowym prostokątem $[-2,2]\times[-1,1]$, więc odpowiada warunkowi III. B tworzą dwa poziome pasy na lewo i prawo od $x=\pm2$, zatem odpowiada I. C składa się z czterech obszarów narożnych, więc odpowiada II.

Zamieniamy warunki z modułami na warunki dla współrzędnych:

a) $-5\le x\le5$ i $-1\le y\le1$ — domknięty prostokąt.

b) $-3\le x\le3$ oraz $y\le-2$ lub $y\ge2$ — dwa nieograniczone obszary nad i pod środkowym pasem.

c) $x\in[-3,-1]\cup[1,3]$ i $-4\le y\le4$ — dwa domknięte prostokąty boczne. Wszystkie linie brzegowe należą do zbiorów.