NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 99

Współczynnik przy $x^5$ jest równy $-1$. Przecięcie osi $OX$ odpowiada pierwiastkowi nieparzystej krotności, a styczność — pierwiastkowi parzystej krotności.

a) Wykres przecina oś w pięciu punktach: $-3$, $-2$, $-1$, $0$ i $1$. Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc

$$w(x)=-x(x+3)(x+2)(x+1)(x-1).$$

b) Wykres przecina oś dla $x=-3$, $x=-2$ i $x=1$, a dotyka jej dla $x=-1$. Pierwiastki $-3$, $-2$, $1$ są jednokrotne, a $-1$ — dwukrotny. Zatem

$$w(x)=-(x+3)(x+2)(x+1)^2(x-1).$$

c) Wykres przecina oś dla $x=-4$ oraz dotyka jej dla $x=-2$ i $x=0$. Pierwiastek $-4$ jest jednokrotny, a $-2$ i $0$ — dwukrotne, stąd

$$w(x)=-x^2(x+4)(x+2)^2.$$

Znak wielomianu ustalamy od prawej strony osi. Zmienia się on tylko w pierwiastkach nieparzystej krotności.

a) Pierwiastki to $-3$ — jednokrotny oraz $4$ — dwukrotny. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc dla $x>4$ wielomian jest dodatni. Znak nie zmienia się w $4$, a zmienia się w $-3$. Stąd

$$w(x)<0\iff x\in(-\infty;-3).$$

b) Rozkład ma postać

$$w(x)=(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)(x+2).$$

Pierwiastki $-\sqrt5$, $-2$, $\sqrt5$ są jednokrotne i leżą w kolejności

$$-\sqrt5<-2<\sqrt5.$$

Znaki zmieniają się w każdym z nich, zatem

$$w(x)<0\iff x\in(-\infty;-\sqrt5)\cup(-2;\sqrt5).$$

c) Mamy

$$w(x)=-(x+1)(x-1)(x-3).$$

Pierwiastki $-1$, $1$, $3$ są jednokrotne, a współczynnik wiodący jest ujemny. Otrzymujemy

$$w(x)<0\iff x\in(-1;1)\cup(3;\infty).$$

d) Pierwiastki $-1$ i $6$ są jednokrotne, a $0$ — dwukrotny. Wielomian ma dodatni współczynnik wiodący. Znak zmienia się w $-1$ i $6$, ale nie w $0$, więc

$$w(x)<0\iff x\in(-1;0)\cup(0;6).$$

e) Zapisujemy

$$w(x)=-3(x+2)(x-2)^3.$$

Pierwiastki $-2$ i $2$ mają nieparzyste krotności, zatem w obu punktach znak się zmienia. Ponieważ współczynnik wiodący jest ujemny,

$$w(x)<0\iff x\in(-\infty;-2)\cup(2;\infty).$$

f) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$$w(x)=(x+3)^4\geqslant0$$

dla każdego $x\in\mathbb R$. Wielomian nie przyjmuje wartości ujemnych.

Do zbioru rozwiązań włączamy wszystkie miejsca zerowe. Znak wielomianu zmienia się tylko w pierwiastkach nieparzystej krotności.

a) Pierwiastki $2$ i $3$ mają nieparzyste krotności odpowiednio $1$ i $3$, a $4$ ma krotność $4$. Wielomian jest dodatni dla dużych dodatnich $x$, nie zmienia znaku w $4$, a zmienia go w $3$ i $2$. Stąd

$$w(x)\geqslant0\iff x\in(-\infty;2]\cup[3;\infty).$$

b) Każdy czynnik poza znakiem minus jest kwadratem, więc

$$w(x)=-[x(x+1)(x+2)]^2\leqslant0.$$

Wartość $0$ jest osiągana tylko dla $x=-2,-1,0$. Zatem

$$w(x)\geqslant0\iff x\in\{-2,-1,0\}.$$

c) Wyłączamy czynniki liniowe:

$$w(x)=6x\cdot x(x-6)\cdot x(x-1) =6x^3(x-1)(x-6).$$

Pierwiastki $0$, $1$, $6$ mają krotności odpowiednio $3$, $1$, $1$, więc znak zmienia się w każdym z nich. Otrzymujemy

$$w(x)\geqslant0\iff x\in[0;1]\cup[6;\infty).$$

d) Rozkładamy wielomian:

$$\begin{aligned} w(x)&=2x(x+2)(x-2)(x+2)(3-x)^3\\ &=-2x(x+2)^2(x-2)(x-3)^3. \end{aligned}$$

Pierwiastek $-2$ jest dwukrotny, $0$ i $2$ — jednokrotne, a $3$ — trzykrotny. Znak nie zmienia się w $-2$, a w pozostałych zerach się zmienia, zatem

$$w(x)\geqslant0\iff x\in(-\infty;0]\cup[2;3].$$

e) Czynniki $x^2+3$ i $(3-x)^2$ są nieujemne, przy czym pierwszy jest zawsze dodatni. O znaku poza zerem $x=3$ decyduje iloczyn $-7(3-x^2)$. Jest on nieujemny wtedy i tylko wtedy, gdy $x^2\geqslant3$. Stąd

$$w(x)\geqslant0\iff x\in(-\infty;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;\infty).$$

f) Rozkładamy wszystkie czynniki:

$$w(x)=(3x-1)^3(3x+1)(x-3).$$

Pierwiastki $-\frac13$ i $3$ są jednokrotne, a $\frac13$ — trzykrotny, więc znak zmienia się w każdym z nich. Ostatecznie

$$w(x)\geqslant0\iff x\in\left[-\frac13;\frac13\right]\cup[3;\infty).$$

Podstawienie $-x$ zamiast $x$ odbija wykres symetrycznie względem osi $OY$. Najpierw odczytujemy ze szkicu miejsca zerowe, ich krotności oraz jeden punkt potrzebny do wyznaczenia współczynnika.

a) Wykres $w$ przecina oś w punktach $-2$, $-1$ i $2$, a ponadto $w(0)=-1$. Zatem

$$w(x)=a(x+2)(x+1)(x-2).$$

Warunek $w(0)=-1$ daje

$$-4a=-1,\qquad a=\frac14.$$

Rozwijamy wielomian i podstawiamy $-x$:

$$w(x)=\frac14x^3+\frac14x^2-x-1,$$ $$v(x)=w(-x)=-\frac14x^3+\frac14x^2+x-1.$$

b) Wykres $w$ dotyka osi dla $x=0$, przecina ją dla $x=2$ i przechodzi przez punkt $(-1,2)$. Ma więc postać

$$w(x)=ax^2(x-2).$$

Z warunku $w(-1)=2$ otrzymujemy

$$-3a=2,\qquad a=-\frac23.$$

Stąd

$$w(x)=-\frac23x^3+\frac43x^2,$$ $$v(x)=w(-x)=\frac23x^3+\frac43x^2.$$

c) Wykres $w$ przecina oś dla $x=-1$, dotyka jej dla $x=3$ oraz spełnia $w(0)=3$. Zatem

$$w(x)=a(x+1)(x-3)^2.$$

Ponieważ $9a=3$, mamy $a=\frac13$. Po rozwinięciu i podstawieniu $-x$:

$$w(x)=\frac13x^3-\frac53x^2+x+3,$$ $$v(x)=w(-x)=-\frac13x^3-\frac53x^2-x+3.$$