NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 98

a) Pierwiastki $-4$, $-2$ i $1$ są jednokrotne. Jest to wielomian trzeciego stopnia o dodatnim współczynniku wiodącym, zatem wykres przecina oś w każdym z tych punktów, jego lewe ramię biegnie ku dołowi, a prawe ku górze.

b) Upraszczamy znaki:

$$w(x)=-(x+3)(x+1)(2-x)=(x+3)(x+1)(x-2).$$

Pierwiastki $-3$, $-1$ i $2$ są jednokrotne. Lewe ramię biegnie ku dołowi, prawe ku górze, a wykres trzy razy przecina oś.

c) Ponieważ $(-x-2)^2=(x+2)^2$, mamy

$$w(x)=-\frac12(x+3)(x+2)^2.$$

Liczba $-3$ jest pierwiastkiem jednokrotnym, a $-2$ — dwukrotnym. Wykres przecina oś w $-3$, dotyka jej od dołu w $-2$, lewe ramię ma skierowane ku górze, a prawe ku dołowi.

d) Rozkładamy różnicę kwadratów:

$$w(x)=-(x-3)^2(x-2)(x+2).$$

Pierwiastki $-2$ i $2$ są jednokrotne, a $3$ — dwukrotny. Oba ramiona biegną ku dołowi; wykres przecina oś w $-2$ i $2$, a w $3$ dotyka jej od dołu.

e) Pierwiastki $-3$ i $4$ są jednokrotne, a $-2$ — dwukrotny. Wielomian ma stopień $4$ i dodatni współczynnik wiodący. Oba ramiona biegną ku górze; wykres przecina oś w $-3$ i $4$, a dotyka jej od dołu w $-2$.

f) Mamy

$$w(x)=-2(x+3)(x-3)(x+\sqrt2)(x-\sqrt2).$$

Wszystkie pierwiastki $-3$, $-\sqrt2$, $\sqrt2$ i $3$ są jednokrotne. Współczynnik wiodący jest ujemny, więc oba ramiona biegną ku dołowi, a wykres przecina oś w każdym z czterech miejsc zerowych.

Współczynnik wiodący jest równy $1$. Krotność pierwiastka odczytujemy z zachowania wykresu: przecięcie osi oznacza krotność nieparzystą, a dotknięcie — parzystą.

a) Wykres przecina oś w punktach $-3$, $-1$, $0$ i $2$. Są to cztery pierwiastki jednokrotne, więc

$$w(x)=x(x+3)(x+1)(x-2).$$

b) Wykres przecina oś dla $x=-1$ i $x=0$, a dotyka jej dla $x=2$. Pierwiastki $-1$ i $0$ są zatem jednokrotne, a $2$ — dwukrotny:

$$w(x)=x(x+1)(x-2)^2.$$

c) Wykres dotyka osi w $-2$ i $2$. Oba pierwiastki są dwukrotne, zatem

$$w(x)=(x+2)^2(x-2)^2.$$

Wielomian czwartego stopnia ma ramiona skierowane w tę samą stronę. W pierwiastku parzystej krotności wykres dotyka osi $OX$, a w pierwiastku nieparzystej krotności ją przecina.

a) Pierwiastki $-3$ i $-1$ są jednokrotne, a $2$ — dwukrotny. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc oba ramiona biegną ku górze. Wykres przecina oś w $-3$ i $-1$, dotyka jej od góry w $2$, a ponadto

$$w(x)<0\text{ dla }x\in(-3;-1).$$

b) Pierwiastki $0$ i $3$ są dwukrotne. Ponieważ

$$w(x)=2[x(x-3)]^2\geqslant0,$$

wykres ma oba ramiona skierowane ku górze i dotyka osi od góry w obu miejscach zerowych.

c) Pierwiastki $-4$ i $1$ są jednokrotne, a $0$ — dwukrotny. Współczynnik wiodący jest ujemny, zatem oba ramiona biegną ku dołowi. Wykres przecina oś w $-4$ i $1$, dotyka jej od góry w $0$, zaś

$$w(x)>0\text{ dla }x\in(-4;0)\cup(0;1).$$

d) Rozkładamy ostatni czynnik:

$$w(x)=-2(x+2)^2(x-1)(x-2).$$

Liczba $-2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $1$ i $2$ — jednokrotnymi. Oba ramiona biegną ku dołowi; wykres dotyka osi od dołu w $-2$, przecina ją w $1$ i $2$ oraz jest dodatni tylko dla $x\in(1;2)$.

a) Stopień wynosi $6$, a współczynnik wiodący jest równy $4>0$. Pierwiastki to

$$-1\text{ — trzykrotny},\qquad -\frac12\text{ — dwukrotny},\qquad 3\text{ — jednokrotny}.$$

Oba ramiona biegną ku górze. Wykres przecina oś w $-1$ i $3$, a dotyka jej od dołu w $-\frac12$. Znak wielomianu opisują zależności

$$w(x)>0\text{ dla }x\in(-\infty;-1)\cup(3;\infty),$$ $$w(x)<0\text{ dla }x\in\left(-1;-\frac12\right) \cup\left(-\frac12;3\right).$$

b) Rozkładamy różnicę kwadratów:

$$w(x)=\frac14(x-3)^2(x+3)(x+4)^2.$$

Jest to wielomian stopnia $5$ o dodatnim współczynniku wiodącym. Pierwiastki $-4$ i $3$ są dwukrotne, a $-3$ — jednokrotny. Wykres dotyka osi od dołu w $-4$, przecina ją w $-3$ i dotyka od góry w $3$. Lewe ramię biegnie ku dołowi, a prawe ku górze.

c) Pierwiastki $-1$ i $2$ są dwukrotne, a $5$ — jednokrotny. Wielomian ma stopień $5$ i ujemny współczynnik wiodący, więc lewe ramię biegnie ku górze, a prawe ku dołowi. Wykres dotyka osi od góry w $-1$ i $2$, przecina ją w $5$ oraz spełnia

$$w(x)>0\text{ dla }x\in(-\infty;-1)\cup(-1;2)\cup(2;5).$$

d) Korzystamy z $1-x^2=-(x-1)(x+1)$:

$$w(x)=5(x-1)^3(x+1)(x+3)^2.$$

Wielomian ma stopień $6$ i dodatni współczynnik wiodący. Liczba $-3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, $-1$ — jednokrotnym, a $1$ — trzykrotnym. Wykres dotyka osi od góry w $-3$, przecina ją w $-1$ oraz ze spłaszczeniem w $1$. Jest ujemny tylko dla $x\in(-1;1)$.