NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 100

Pierwiastkami wielomianu są liczby $-2$, $1$ i $3$. Każdy z nich jest jednokrotny, więc wykres przy każdym przechodzi przez oś $OX$ i zmienia znak. Ze szkicu odczytujemy:

$$\begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-2)&(-2;1)&(1;3)&(3;\infty)\\ \hline \operatorname{sgn}w(x)&+&-&+&- \end{array}$$

a) Wybieramy przedziały, na których wykres leży nad osią $OX$:

$$x\in(-\infty;-2)\cup(1;3).$$

b) Wybieramy przedziały, na których wykres leży pod osią $OX$, oraz dołączamy jego miejsca zerowe:

$$x\in[-2;1]\cup[3;\infty).$$

Pierwiastkami są $-1$, $1$ i $4$. Pierwiastek $-1$ jest dwukrotny, więc wykres styka się tam z osią $OX$ bez zmiany znaku. W punktach $1$ i $4$ wykres przecina oś. Ze szkicu otrzymujemy:

$$\begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-1)&(-1;1)&(1;4)&(4;\infty)\\ \hline \operatorname{sgn}w(x)&+&+&-&+ \end{array}$$

a) Dodatnie wartości występują na przedziałach

$$(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(4;\infty).$$

b) Wielomian jest ujemny dla $x\in(1;4)$.

c) Do przedziałów dodatniości dołączamy wszystkie miejsca zerowe:

$$x\in(-\infty;1]\cup[4;\infty).$$

d) Przedział ujemności domykamy w punktach $1$ i $4$, a dwukrotne zero $-1$ dołączamy jako punkt izolowany:

$$x\in\{-1\}\cup[1;4].$$

Pierwiastki $-3$ i $2$ są dwukrotne, a pierwiastek $-1$ jest jednokrotny. Wykres nie zmienia więc znaku przy $-3$ ani przy $2$, a zmienia go przy $-1$. Ze szkicu odczytujemy:

$$\begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-3)&(-3;-1)&(-1;2)&(2;\infty)\\ \hline \operatorname{sgn}w(x)&+&+&-&- \end{array}$$

a)

$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-1).$$

b) Do przedziałów dodatniości dołączamy miejsca zerowe:

$$x\in(-\infty;-1]\cup\{2\}.$$

c)

$$x\in(-1;2)\cup(2;\infty).$$

d)

$$x\in\{-3\}\cup[-1;\infty).$$

a) Pierwiastki $-4$, $-2$, $5$ są jednokrotne. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc wykres biegnie od dołu po lewej do góry po prawej i przy każdym pierwiastku zmienia znak. Jest ujemny na przedziałach

$$(-\infty;-4)\quad\text{oraz}\quad(-2;5).$$

b) Pierwiastki $-4$ i $5$ są jednokrotne, a $-2$ jest dwukrotny. Wykres ma oba końce skierowane w dół, przecina oś przy $-4$ i $5$, a przy $-2$ tylko jej dotyka. Stąd

$$x\in(-\infty;-4)\cup(5;\infty).$$

c) Pierwiastek $-3$ jest dwukrotny, a $2$ — jednokrotny. Poza zerami znak iloczynu jest taki jak znak $x-2$. Warunek nieujemności daje

$$x\in\{-3\}\cup[2;\infty).$$

d) Oba czynniki kwadratowe są nieujemne, zatem

$$-\frac12(x-5)^2(x+2)^2\leqslant0$$

dla każdego $x$. Wyrażenie jest zarazem nieujemne tylko wtedy, gdy jest równe zeru, czyli dla $x=-2$ lub $x=5$.