NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 97

Wykres przecina oś $OX$ w pierwiastku jednokrotnym, a dotyka jej w pierwiastku dwukrotnym.

Dla wielomianu

$$u(x)=x(x-1)^2(x-3)$$

liczby $0$ i $3$ są pierwiastkami jednokrotnymi, a $1$ — dwukrotnym. Tak zachowuje się szkic B: przecina oś w $0$ i $3$, a dotyka jej w $1$.

Wielomian

$$v(x)=(x+1)^2(x-4)^2$$

ma dwa pierwiastki dwukrotne: $-1$ i $4$. Odpowiada mu szkic C, który dotyka osi w obu tych punktach i nigdzie jej nie przecina.

Dla

$$w(x)=x(x+1)(x-1)(x-3)$$

wszystkie cztery pierwiastki $-1$, $0$, $1$ i $3$ są jednokrotne. Wykres A przecina oś właśnie w tych czterech punktach, więc przedstawia wielomian $w$.

Współczynnik przy $x^4$ jest równy $-1$. Każde przecięcie osi odpowiada pierwiastkowi jednokrotnemu, a każde dotknięcie osi — pierwiastkowi dwukrotnemu.

a) Wykres dotyka osi dla $x=-2$ oraz przecina ją dla $x=0$ i $x=2$. Suma krotności wynosi $2+1+1=4$, zatem

$$w(x)=-x(x+2)^2(x-2).$$

b) Wykres przecina oś w czterech punktach: $-2$, $-1$, $1$ i $2$. Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc

$$w(x)=-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2).$$

c) Wykres dotyka osi dla $x=-2$ oraz $x=1$. Oba pierwiastki są dwukrotne, stąd

$$w(x)=-(x+2)^2(x-1)^2.$$