NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 96

W pierwiastku nieparzystej krotności wykres przecina oś $OX$, a w pierwiastku parzystej krotności dotyka jej i zawraca. Kierunki ramion odczytujemy ze stopnia wielomianu i znaku współczynnika wiodącego.

a) Pierwiastki $-2$, $1$ i $3$ są jednokrotne. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc

$$\lim_{x\to-\infty}w(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}w(x)=\infty.$$

Wykres przecina oś w każdym z trzech miejsc zerowych. Ponadto

$$w(x)<0\text{ dla }x\in(-\infty;-2)\cup(1;3),$$ $$w(x)>0\text{ dla }x\in(-2;1)\cup(3;\infty).$$

b) Liczba $-3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $0$ — jednokrotnym. Wielomian ma dodatni współczynnik wiodący i stopień $3$. Wykres dotyka osi od dołu dla $x=-3$, przecina ją dla $x=0$ i spełnia

$$w(x)<0\text{ dla }x\in(-\infty;-3)\cup(-3;0), \qquad w(x)>0\text{ dla }x\in(0;\infty).$$

c) Pierwiastek $0$ jest dwukrotny, a $1$ — jednokrotny. Oba ramiona zachowują się jak dla wielomianu trzeciego stopnia o dodatnim współczynniku wiodącym. Wykres dotyka osi od dołu w $0$, a przecina ją w $1$:

$$w(x)<0\text{ dla }x\in(-\infty;0)\cup(0;1), \qquad w(x)>0\text{ dla }x\in(1;\infty).$$

d) Najpierw zapisujemy

$$w(x)=-x(x+1)^2.$$

Pierwiastek $-1$ jest dwukrotny, a $0$ — jednokrotny. Współczynnik wiodący jest ujemny, więc lewe ramię biegnie ku górze, a prawe ku dołowi. Wykres dotyka osi od góry w $-1$ i przecina ją w $0$:

$$w(x)>0\text{ dla }x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0), \qquad w(x)<0\text{ dla }x\in(0;\infty).$$

e) Rozkładamy trójmian:

$$w(x)=(1-x)(x-1)(x+5)=-(x-1)^2(x+5).$$

Pierwiastek $-5$ jest jednokrotny, a $1$ — dwukrotny. Wykres przecina oś w $-5$, dotyka jej od dołu w $1$, a jego znak opisują przedziały

$$w(x)>0\text{ dla }x\in(-\infty;-5),$$ $$w(x)<0\text{ dla }x\in(-5;1)\cup(1;\infty).$$

f) Mamy

$$w(x)=(2-x)(x+3)^2=-(x-2)(x+3)^2.$$

Pierwiastek $-3$ jest dwukrotny, a $2$ — jednokrotny. Wykres dotyka osi od góry w $-3$, przecina ją w $2$, zaś

$$w(x)>0\text{ dla }x\in(-\infty;-3)\cup(-3;2), \qquad w(x)<0\text{ dla }x\in(2;\infty).$$