NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 94

Rozkładamy każdy iloczyn całkowicie na czynniki liniowe nad $\mathbb R$.

a)

$$(2x+1)(x^2+x-6)=(2x+1)(x+3)(x-2).$$

Wszystkie trzy pierwiastki są jednokrotne.

b)

$$(x+1)^2(2x-4)=2(x+1)^2(x-2).$$

Pierwiastek $-1$ jest dwukrotny, a $2$ — jednokrotny.

c)

$$(5-x)(x^2-7x+10)=-(x-5)^2(x-2).$$

Pierwiastek $5$ jest dwukrotny, a $2$ — jednokrotny.

d)

$$(x^2+2x-3)(x-1)^3=(x+3)(x-1)^4.$$

Pierwiastek $-3$ jest jednokrotny, a $1$ — czterokrotny.

e)

$$(x^2-9)(x+3)^2=(x-3)(x+3)^3.$$

Pierwiastek $-3$ jest trzykrotny, a $3$ — jednokrotny.

f)

$$(x^2-x-6)(x^2+x-1) =(x-3)(x+2)(x^2+x-1).$$

Pierwiastki drugiego trójmianu to $\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$; wszystkie cztery pierwiastki całego wielomianu są jednokrotne.

g)

$$\begin{aligned} &(x^2-4)^2(x^4+3x^3-10x^2)\\ &=(x-2)^2(x+2)^2x^2(x+5)(x-2)\\ &=x^2(x+5)(x+2)^2(x-2)^3. \end{aligned}$$

h)

$$\begin{aligned} &(x^3+x^2-12x)(x^4-5x^3+6x^2)\\ &=x(x+4)(x-3)\cdot x^2(x-2)(x-3)\\ &=x^3(x+4)(x-2)(x-3)^2. \end{aligned}$$

Wystarczy rozłożyć każdy wielomian na czynniki i sprawdzić, że czynniki liniowe są różne.

a)

$$x^3-5x^2-2x+24=(x+2)(x-3)(x-4).$$

Pierwiastki $-2$, $3$, $4$ są parami różne, więc wszystkie są jednokrotne.

b) Grupujemy składniki:

$$3x^3+x^2-12x-4=(3x+1)(x^2-4) =(3x+1)(x-2)(x+2).$$

Pierwiastki $-\frac13$, $-2$, $2$ są różne.

c)

$$2x^3+8x^2+9x+2=(x+2)(2x^2+4x+1).$$

Trójmian ma dwa różne pierwiastki

$$x=-1-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad x=-1+\frac{\sqrt2}{2},$$

z których żaden nie jest równy $-2$.

d)

$$x^3+6x^2+8x+15=(x+5)(x^2+x+3).$$

Trójmian ma wyróżnik $-11$, więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest $-5$ i występuje on jednokrotnie. Zatem żadne z czterech równań nie ma pierwiastka wielokrotnego.

a)

$$x^3-3x^2-4x=x(x-4)(x+1).$$

Pierwiastki $-1$, $0$, $4$ są jednokrotne.

b)

$$x^5-6x^4+9x^3=x^3(x-3)^2.$$

Pierwiastek $0$ jest trzykrotny, a $3$ — dwukrotny.

c)

$$x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2.$$

d)

$$x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2 =(x-\sqrt2)^2(x+\sqrt2)^2.$$

e)

$$x^4+4x^3+5x^2=x^2(x^2+4x+5).$$

Drugi czynnik ma wyróżnik $-4$, więc jedynym pierwiastkiem jest $0$, dwukrotny.

f)

$$x^5+4x^4+4x^3=x^3(x+2)^2.$$

g)

$$x^3+3x^2-4x=x(x+4)(x-1).$$

Wszystkie trzy pierwiastki są jednokrotne.

h)

$$3x^4-2x^3+x^2=x^2(3x^2-2x+1).$$

Trójmian ma wyróżnik $-8$, więc jedynym pierwiastkiem jest $0$, dwukrotny.

i)

$$x^7-16x^3=x^3(x^4-16) =x^3(x-2)(x+2)(x^2+4).$$

Pierwiastki $-2$ i $2$ są jednokrotne, a $0$ — trzykrotny.

Skoro $x_0$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, wielomian jest podzielny przez $(x-x_0)^2$.

a)

$$3x^3-11x^2+8x+4=(x-2)^2(3x+1).$$

Pozostałym pierwiastkiem jest $x=-\frac13$.

b)

$$x^4+2x^3-2x^2-6x-3=(x+1)^2(x^2-3).$$

Pozostałe pierwiastki to $x=-\sqrt3$ oraz $x=\sqrt3$.

c)

$$-12x^3+16x^2-7x+1=(2x-1)^2(1-3x).$$

Pozostałym pierwiastkiem jest $x=\frac13$.

Każda z liczb $-3$, $2$, $4$ musi wystąpić w czynniku liniowym. Stopień zwiększamy przez powtarzanie wybranych czynników, nie wprowadzając nowych pierwiastków.

a) Dla stopnia $3$ każdy czynnik występuje raz:

$$w(x)=(x+3)(x-2)(x-4).$$

b) Dla stopnia $4$ możemy zwiększyć krotność pierwiastka $-3$:

$$w(x)=(x+3)^2(x-2)(x-4).$$

c) Dla stopnia $6$ wybieramy na przykład krotności $3$, $2$, $1$:

$$w(x)=(x+3)^3(x-2)^2(x-4).$$

Czynnik $(x-3)^2$ zapewnia dwukrotny pierwiastek $3$. Pozostałe czynniki dobieramy tak, aby były dodatnie dla każdego $x\in\mathbb R$, a współczynnik ustalamy z warunku $w(0)=2$.

a) Wielomian $c(x-3)^2$ ma wyraz wolny $9c$, więc $c=\frac29$:

$$w(x)=\frac29(x-3)^2.$$

b) Czynnik $x^2+1$ nie ma pierwiastków rzeczywistych i ma wyraz wolny $1$, zatem

$$w(x)=\frac29(x-3)^2(x^2+1).$$

c) Wielomian $x^4+x^2+2$ jest dodatni i ma wyraz wolny $2$. Dlatego

$$w(x)=\frac19(x-3)^2(x^4+x^2+2).$$

a) Czynnik $x+3$ już daje jeden czynnik odpowiadający pierwiastkowi $-3$. Aby krotność była równa $2$, także drugi czynnik musi zerować się dla $x=-3$:

$$(-3)^2+a(-3)+6=0,$$ $$15-3a=0,$$

stąd $a=5$. Wtedy

$$w(x)=(x+3)(x^2+5x+6)=(x+3)^2(x+2),$$

więc krotność jest dokładnie równa $2$.

b) Rozkład pierwszego czynnika ma postać

$$2x^2-7x-4=(2x+1)(x-4),$$

więc liczba $4$ jest już jego pierwiastkiem jednokrotnym. Drugi czynnik ma także zerować się dla $x=4$:

$$4^2-4a^2=0 \iff a^2=4.$$

Zatem $a=-2$ lub $a=2$. W obu przypadkach $x^2-4a^2=x^2-16$ zawiera czynnik $x-4$ dokładnie raz.

Liczba $x_0$ jest co najmniej pierwiastkiem dwukrotnym wtedy i tylko wtedy, gdy $w(x_0)=0$ oraz $w'(x_0)=0$.

a) Dla $x_0=-1$ mamy niezależnie od $a$

$$w(-1)=6-8-8-a+a+10=0.$$

Pochodna jest równa

$$w'(x)=24x^3+24x^2-16x+a,$$

więc

$$w'(-1)=16+a.$$

Warunek $w'(-1)=0$ daje $a=-16$. Ponadto

$$w''(-1)=72-48-16=8\ne0,$$

zatem dla tej wartości $-1$ jest dokładnie pierwiastkiem dwukrotnym.

b) Dla $x_0=2$ warunek zerowania wielomianu daje

$$w(2)=6a+6=0,$$

czyli $a=-1$. Natomiast

$$w'(x)=4x^3-9x^2+2ax+a+5,$$ $$w'(2)=5a+1.$$

Warunek $w'(2)=0$ wymagałby $a=-\frac15$. Te dwa warunki są sprzeczne, więc nie istnieje odpowiednia wartość parametru.