NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 93

a) Liczba $-1$ jest pierwiastkiem, a

$$x^3+5x^2+7x+3=(x+1)(x^2+4x+3)=(x+1)^2(x+3).$$

Zatem $-1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $-3$ — jednokrotnym.

b)

$$x^3+x^2-8x-12=(x+2)(x^2-x-6)=(x+2)^2(x-3).$$

Pierwiastek $-2$ jest dwukrotny, a $3$ — jednokrotny.

c) Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$\begin{aligned} x^4-6x^3+9x^2-4x &=x(x^3-6x^2+9x-4)\\ &=x(x-1)^2(x-4). \end{aligned}$$

Pierwiastki $0$ i $4$ są jednokrotne, a $1$ — dwukrotny.

d) Wielomian jest kwadratem iloczynu dwóch czynników:

$$x^4-6x^3+13x^2-12x+4=(x-1)^2(x-2)^2.$$

Oba pierwiastki, $1$ i $2$, są dwukrotne.

Wielomian stopnia $n$ ma najwyżej $n$ różnych pierwiastków rzeczywistych, przy czym suma ich krotności nie przekracza $n$.

a) Wielomian ma stopień $3$. Trzy podane różne pierwiastki są jednokrotne, więc suma ich krotności wynosi $3$. Nie może istnieć jeszcze inny pierwiastek.

b) Podany pierwiastek $3$ jest dwukrotny, a wielomian ma stopień $3$. Pozostaje więc miejsce na jeszcze jeden pierwiastek jednokrotny. Rzeczywiście,

$$2x^3-11x^2+12x+9=(x-3)^2(2x+1),$$

zatem dodatkowym pierwiastkiem jest $-\frac12$.