NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 92

a) Rozkładamy różnicę kwadratów:

$$w(x)=(x-2)(x^2-4)=(x-2)^2(x+2).$$

Czynnik $(x-2)$ występuje dokładnie w drugiej potędze, więc liczba $2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym.

b) Mamy

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),$$

zatem

$$w(x)=(x-2)^2(x^2-x-2)=(x-2)^3(x+1).$$

Liczba $2$ jest pierwiastkiem trzykrotnym, a więc nie jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Krotność pierwiastka odczytujemy z wykładnika odpowiedniego czynnika liniowego w pełnym rozkładzie nad $\mathbb R$.

a) Postać jest już iloczynowa:

$$w(x)=x^4\left(x+\frac32\right)^2(x-1).$$

Pierwiastki to $0$ — czterokrotny, $-\frac32$ — dwukrotny oraz $1$ — jednokrotny.

b) Czynniki $x^2+1$ i $x^2+2$ są dodatnie dla każdego $x\in\mathbb R$. Jedynym pierwiastkiem jest więc $0$, jednokrotny.

c)

$$w(x)=(x-4)^3(x^2-16)=(x-4)^4(x+4).$$

Zatem $4$ jest pierwiastkiem czterokrotnym, a $-4$ — jednokrotnym.

d)

$$\begin{aligned} w(x)&=7x(x-2)(5x+3)(x^2-4)^2\\ &=7x(5x+3)(x-2)^3(x+2)^2. \end{aligned}$$

Stąd $-2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, $2$ — trzykrotnym, natomiast $-\frac35$ i $0$ są pierwiastkami jednokrotnymi.