NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 91

a) Dla wielomianu $w(x)=x^3+x-2$ ewentualny pierwiastek całkowity jest dzielnikiem liczby $-2$. Sprawdzamy

$$w(1)=1+1-2=0.$$

Ponadto

$$x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2).$$

Wyróżnik drugiego czynnika wynosi $-7$, więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest $x=1$.

b) We wzorze Cardano podstawiamy $a=1$ i $b=2$:

$$\begin{aligned} x&=\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\frac1{27}}} -\sqrt[3]{-1+\sqrt{1+\frac1{27}}}\\ &=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}} -\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}-1}. \end{aligned}$$

Funkcja $x\mapsto x^3+x$ jest ściśle rosnąca, więc równanie ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Ponieważ z podpunktu a) jest nim $1$, otrzymane wyrażenie Cardana także jest równe $1$.

a) Zapisujemy równanie jako $x^3-2x=21$, zatem we wzorze Cardano $a=-2$ i $b=21$. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym jest równe

$$\left(\frac{21}{2}\right)^2+ \left(-\frac23\right)^3 =\frac{11875}{108}.$$

Otrzymujemy

$$x=\sqrt[3]{\frac{189+25\sqrt{57}}{18}} -\sqrt[3]{\frac{-189+25\sqrt{57}}{18}}.$$

Ponieważ

$$\left(\frac{9+\sqrt{57}}6\right)^3 =\frac{189+25\sqrt{57}}{18}, \qquad \left(\frac{\sqrt{57}-9}6\right)^3 =\frac{-189+25\sqrt{57}}{18},$$

to

$$x=\frac{9+\sqrt{57}}6- \frac{\sqrt{57}-9}6=3.$$

b) Mamy $x^3+6x=20$, więc $a=6$, $b=20$. Stąd

$$x=\sqrt[3]{10+\sqrt{100+8}} -\sqrt[3]{-10+\sqrt{100+8}},$$ $$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}-\sqrt[3]{-10+6\sqrt3}.$$

Korzystamy z tożsamości

$$10+6\sqrt3=(1+\sqrt3)^3, \qquad -10+6\sqrt3=(\sqrt3-1)^3.$$

Zatem $x=1+\sqrt3-(\sqrt3-1)=2$.

a) Współczynnik przy $x^2$ jest równy $a_2=-6$, więc podstawiamy

$$x=y-\frac{-6}{3}=y+2.$$

Po podstawieniu:

$$(y+2)^3-6(y+2)^2+18(y+2)-18=0,$$ $$y^3+6y+2=0 \iff y^3+6y=-2.$$

We wzorze Cardano mamy $a=6$, $b=-2$, zatem

$$y=\sqrt[3]{-1+\sqrt{1+8}} -\sqrt[3]{1+\sqrt{1+8}} =\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}.$$

Wobec tego

$$x=2+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}.$$

b) W pierwszym równaniu podstawiamy $x=y-1$:

$$(y-1)^3+3(y-1)^2+9(y-1)+9=0 \iff y^3+6y+2=0.$$

W drugim równaniu podstawiamy $x=y+1$:

$$(y+1)^3-3(y+1)^2+9(y+1)-5=0 \iff y^3+6y+2=0.$$

Równanie $y^3+6y+2=0$ ma rzeczywisty pierwiastek $y_0=\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$. Wybieramy więc

$$x_1=y_0-1, \qquad x_2=y_0+1.$$

Są to pierwiastki odpowiednich równań i

$$x_2-x_1=(y_0+1)-(y_0-1)=2,$$

co należało uzasadnić.