NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 90

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych. Po znalezieniu jednego pierwiastka dzielimy wielomian przez odpowiadający mu dwumian.

a) Ponieważ $w(1)=0$, mamy

$$x^3+3x^2-9x+5=(x-1)(x^2+4x-5)=(x-1)^2(x+5).$$

Stąd $x=-5$ lub $x=1$.

b) Liczba $-1$ jest pierwiastkiem, a

$$x^3-7x-6=(x+1)(x^2-x-6)=(x+1)(x+2)(x-3).$$

Zatem $x=-2$, $x=-1$ lub $x=3$.

c) Mamy $w(-1)=0$ oraz

$$2x^3+9x^2+10x+3=(x+1)(2x^2+7x+3) =(x+1)(2x+1)(x+3).$$

Stąd $x=-3$, $x=-1$ lub $x=-\frac12$.

d) Ponieważ $w(1)=0$,

$$2x^3-3x^2-3x+4=(x-1)(2x^2-x-4).$$

Dla trójmianu $2x^2-x-4$ wyróżnik jest równy $33$, więc

$$x=\frac{1-\sqrt{33}}4\quad\text{lub}\quad x=\frac{1+\sqrt{33}}4.$$

Trzecim rozwiązaniem jest $x=1$.

e) Liczba $-4$ jest pierwiastkiem i

$$3x^3+11x^2-3x+4=(x+4)(3x^2-x+1).$$

Trójmian ma wyróżnik $\Delta=-11<0$, zatem jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest $x=-4$.

f) Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę:

$$6x^3+5x^2-2x-1=0.$$

Następnie

$$6x^3+5x^2-2x-1=(x+1)(6x^2-x-1) =(x+1)(3x+1)(2x-1).$$

Stąd $x=-1$, $x=-\frac13$ lub $x=\frac12$.

g) Równanie jest równoważne

$$x^3-4x^2+5x-6=0.$$

Ponieważ

$$x^3-4x^2+5x-6=(x-3)(x^2-x+2)$$

i $\Delta_{x^2-x+2}=-7<0$, jedynym rozwiązaniem jest $x=3$.

h) Mamy $w(3)=0$ oraz

$$-3x^3+15x^2-20x+6=(x-3)(-3x^2+6x-2).$$

Równanie kwadratowe $-3x^2+6x-2=0$ ma rozwiązania

$$x=1-\frac{\sqrt3}{3}\quad\text{oraz}\quad x=1+\frac{\sqrt3}{3}.$$

Rozkładamy lewe strony na czynniki liniowe i nierozkładalne nad $\mathbb R$ czynniki kwadratowe.

a)

$$2x^4-7x^3+2x^2+3x=x(2x+1)(x-1)(x-3).$$

b)

$$x^4+x^2-6x+4=(x-1)^2(x^2+2x+4).$$

Drugi czynnik ma wyróżnik $-12$, więc nie daje rozwiązań rzeczywistych.

c)

$$2x^4-6x^3+5x^2-3x+2=(x-1)(x-2)(2x^2+1).$$

d)

$$3x^4+5x^3-x^2-5x-2=(x+1)^2(3x+2)(x-1).$$

e)

$$x^4+2x^3-8x^2-19x-6=(x+2)(x-3)(x^2+3x+1).$$

Z równania $x^2+3x+1=0$ otrzymujemy

$$x=\frac{-3-\sqrt5}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{-3+\sqrt5}{2}.$$

f)

$$4x^4+12x^3+13x^2+6x+1 =(2x^2+3x+1)^2=(2x+1)^2(x+1)^2.$$

Najpierw usuwamy ułamki i przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę.

a) Po pomnożeniu równania przez $2$:

$$2x^3-x^2-2x-8=0,$$ $$2x^3-x^2-2x-8=(x-2)(2x^2+3x+4).$$

Ponieważ wyróżnik trójmianu wynosi $-23$, jedynym rozwiązaniem jest $x=2$.

b) Mnożymy przez $2$:

$$2x^3-3x^2-x-2=(x-2)(2x^2+x+1)=0.$$

Drugi czynnik ma wyróżnik $-7$, więc $x=2$.

c) Mnożymy przez $15$:

$$x^3+x^2-5x+3=(x-1)^2(x+3)=0.$$

d) Mnożymy przez $6$:

$$x^4+6x^3+15x^2+16x+6 =(x+1)^2(x^2+4x+6)=0.$$

Trójmian $x^2+4x+6$ ma ujemny wyróżnik, więc $x=-1$.

e) Po pomnożeniu przez $4$ i przeniesieniu prawej strony:

$$x^4+2x^3-x^2-4x-2=(x+1)^2(x^2-2)=0.$$

f) Rozwijamy prawą stronę i przenosimy ją na lewo:

$$2x^4-11x^3+12x^2+9x=0,$$ $$x(x-3)^2(2x+1)=0.$$

a) Górne wierzchołki mają odcięte $-t$ i $t$, więc szerokość prostokąta jest równa $2t$. Ich rzędna wynosi $6-t^2$, czyli

$$P(t)=2t(6-t^2)=-2t^3+12t.$$

Prostokąt jest niezdegenerowany i leży nad osią $OX$, zatem

$$t>0,\qquad 6-t^2>0.$$

Stąd $t\in(0;\sqrt6)$.

b) Rozwiązujemy w wyznaczonej dziedzinie równanie

$$-2t^3+12t=8 \iff t^3-6t+4=0.$$

Rozkładamy lewą stronę:

$$t^3-6t+4=(t-2)(t^2+2t-2).$$

Otrzymujemy $t=2$ albo $t=-1\pm\sqrt3$. Do dziedziny należą $t=2$ oraz $t=\sqrt3-1$.

Parabola jest symetryczna względem osi $OY$. Oznaczmy dodatnią odciętą prawego górnego wierzchołka przez $t$. Wierzchołki prostokąta mają wtedy współrzędne

$$(-t,0),\quad(t,0),\quad \left(t,\frac12t^2+2\right),\quad \left(-t,\frac12t^2+2\right),$$

gdzie $t>0$.

Szerokość wynosi $2t$, a wysokość $\frac12t^2+2$, zatem warunek pola daje

$$2t\left(\frac12t^2+2\right)=39 \iff t^3+4t-39=0.$$

Ponieważ

$$t^3+4t-39=(t-3)(t^2+3t+13)$$

i drugi czynnik ma ujemny wyróżnik, otrzymujemy $t=3$. Wysokość jest równa

$$\frac12\cdot3^2+2=\frac{13}{2}.$$

Z rysunku wynika, że konstrukcja jest prostopadłościenną ramą o wymiarach zewnętrznych $8\ \mathrm{dm}\times6\ \mathrm{dm}\times x\ \mathrm{dm}$. Otwór ma wymiary $(8-2x)\ \mathrm{dm}\times(6-2x)\ \mathrm{dm}$, więc $0<x<3$.

Objętość ramy jest równa

$$V(x)=\bigl[8\cdot6-(8-2x)(6-2x)\bigr]x =4x^2(7-x).$$

a) Warunek $V=24$ daje

$$4x^2(7-x)=24 \iff x^3-7x^2+6=0,$$ $$(x-1)(x^2-6x-6)=0.$$

Pierwiastki to $1$ oraz $3\pm\sqrt{15}$, ale tylko $x=1$ należy do przedziału $(0;3)$.

b) Z warunku $V=80$ otrzymujemy

$$4x^2(7-x)=80 \iff x^3-7x^2+20=0,$$ $$(x-2)(x^2-5x-10)=0.$$

Spośród liczb $2$ oraz $\frac{5\pm\sqrt{65}}2$ tylko $x=2$ spełnia $0<x<3$.

Pole jednej poziomej części ramy wynosi

$$A=48-(8-2x)(6-2x)=28x-4x^2.$$

Do dwóch takich części dodajemy zewnętrzne i wewnętrzne ściany pionowe:

$$\begin{aligned} P_c(x)&=2A+2(8+6)x +2\bigl[(8-2x)+(6-2x)\bigr]x\\ &=112x-16x^2. \end{aligned}$$

Dla $x=2$ otrzymujemy

$$P_c(2)=112\cdot2-16\cdot2^2=160\ \mathrm{dm}^2.$$