NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 89

a) Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Liczba $1$ jest pierwiastkiem, a po dwukrotnym wyłączeniu czynnika $x-1$ otrzymujemy

$$x^3-6x^2+9x-4=(x-1)^2(x-4).$$

Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem podwójnym, a trzecim pierwiastkiem jest $4$.

b) Pierwiastkiem całkowitym jest $-2$:

$$3x^3+3x^2-5x+2=(x+2)(3x^2-3x+1).$$

Dla trójmianu mamy

$$\Delta=(-3)^2-4\cdot3\cdot1=-3<0,$$

więc nie ma on pierwiastków rzeczywistych. Jedynym rozwiązaniem jest $-2$.

c) Znajdujemy pierwiastek $-3$ i rozkładamy wielomian:

$$x^3+6x^2+10x+3=(x+3)(x^2+3x+1).$$

Pozostałe pierwiastki są równe

$$x=\frac{-3-\sqrt5}{2} \quad\text{lub}\quad x=\frac{-3+\sqrt5}{2}.$$

d) Mnożymy równanie przez $2$ i znajdujemy pierwiastek $-3$. Otrzymujemy rozkład pierwotnego wielomianu

$$2x^3+8x^2+\frac{13}{2}x+\frac32 =\frac12(x+3)(2x+1)^2.$$

Stąd $x=-3$ oraz podwójny pierwiastek $x=-\frac12$.

Szukamy pierwiastków całkowitych lub wymiernych, a następnie rozkładamy pozostały czynnik.

a)

$$x^4-4x^3+8x^2-20x+15=(x-1)(x-3)(x^2+5).$$

Ponieważ $x^2+5>0$ dla każdego $x\in\mathbb R$, rozwiązaniami są $1$ i $3$.

b)

$$x^4+x^3-11x^2-9x+18=(x-1)(x+2)(x-3)(x+3).$$

Otrzymujemy cztery rozwiązania rzeczywiste: $-3,-2,1,3$.

c)

$$2x^4-8x^3-9x^2-4x-5=(x+1)(x-5)(2x^2+1).$$

Trójmian $2x^2+1$ nie ma miejsc zerowych w $\mathbb R$, więc $x=-1$ lub $x=5$.

d)

$$x^4-x^3-7x^2+13x-6=(x-1)^2(x+3)(x-2).$$

Rozwiązaniami są $-3$, $1$ i $2$, przy czym $1$ jest pierwiastkiem podwójnym.

e)

$$\frac12x^4-2x^3+3x^2-2x+\frac12 =\frac12(x-1)^4.$$

Jedynym rozwiązaniem jest $x=1$; to pierwiastek czterokrotny.

f)

$$x^4+3x^3-5x^2-12x+4 =(x-2)(x+2)(x^2+3x-1).$$

Pierwiastki trójmianu są równe

$$x=\frac{-3-\sqrt{13}}2 \quad\text{oraz}\quad x=\frac{-3+\sqrt{13}}2.$$