NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 88

Każdy pierwiastek całkowity wielomianu o całkowitych współczynnikach musi być dzielnikiem jego wyrazu wolnego.

a) Dzielniki wyrazu wolnego $-3$ to

$$-3,-1,1,3.$$

Sprawdzenie daje $w(1)=0$, a dla pozostałych liczb wartości są niezerowe. Rzeczywiście

$$w(x)=(x-1)(2x^2-x+3),$$

a drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jedynym pierwiastkiem całkowitym jest $1$.

b) Dzielniki liczby $-4$ to

$$-4,-2,-1,1,2,4.$$

Otrzymujemy

$$w(x)=(x-1)(x+4)(3x+1).$$

Spośród wypisanych dzielników pierwiastkami są $-4$ i $1$.

c) Dzielniki liczby $6$ to

$$-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.$$

Ponieważ

$$w(x)=(x-1)(x+2)(x-3),$$

pierwiastkami są $-2,1,3$.

d) Dzielniki liczby $10$ to

$$-10,-5,-2,-1,1,2,5,10.$$

Mamy

$$w(x)=(x^2-5)(x^2-2),$$

więc żaden z dzielników całkowitych wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem.

a) Mnożymy równanie przez $6$:

$$2x^3-x^2-13x-6=0.$$

Spośród dzielników wyrazu wolnego pierwiastkiem jest między innymi $3$. Po wyłączeniu czynnika $x-3$ otrzymujemy

$$2x^3-x^2-13x-6=(x-3)(2x^2+5x+2) =(x-3)(2x+1)(x+2).$$

Pierwiastkami całkowitymi są zatem $-2$ i $3$.

b) Mnożymy równanie przez $4$:

$$x^3-8x^2+17x-10=0.$$

Wielomian rozkłada się następująco:

$$x^3-8x^2+17x-10=(x-1)(x^2-7x+10) =(x-1)(x-2)(x-5).$$

Wszystkie trzy pierwiastki są całkowite.