NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 87

Korzystamy z tego, że czynnik odpowiadający pierwiastkowi $a$ ma postać $x-a$.

a) Po podzieleniu przez $x-1$ otrzymujemy

$$w(x)=(x-1)(x^2-5x-14)=(x-1)(x-7)(x+2).$$

Pozostałe pierwiastki to $7$ i $-2$.

b)

$$w(x)=(x+2)(2x^2+5x+3)=(x+2)(2x+3)(x+1).$$

Pozostałe pierwiastki to $-\frac32$ oraz $-1$.

c)

$$w(x)=(x+5)(x^2-3x+4).$$

Dla trójmianu $x^2-3x+4$ mamy

$$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot4=-7<0,$$

więc wielomian nie ma innych pierwiastków rzeczywistych.

Podstawiamy kolejno wskazane liczby, a po znalezieniu pierwiastka dzielimy przez odpowiadający mu dwumian.

a) Mamy $w(2)=0$, natomiast $w(-1)\ne0$ i $w(1)\ne0$. Zatem

$$w(x)=(x-2)(x^2+x-3).$$

Pozostałe pierwiastki trójmianu są równe

$$x=\frac{-1-\sqrt{13}}2 \quad\text{lub}\quad x=\frac{-1+\sqrt{13}}2.$$

b) Ponieważ $w(-1)=0$, otrzymujemy

$$w(x)=(x+1)(2x^2+5x-3)=(x+1)(2x-1)(x+3).$$

Pozostałe pierwiastki to $\frac12$ i $-3$.

c) Tutaj $w(1)=0$, więc

$$w(x)=(x-1)(2x^2+x-4).$$

Wyróżnik trójmianu wynosi $33$, zatem pozostałe pierwiastki to

$$x=\frac{-1-\sqrt{33}}4 \quad\text{oraz}\quad x=\frac{-1+\sqrt{33}}4.$$

d) Spośród wskazanych liczb pierwiastkiem jest $2$. Po podzieleniu przez $x-2$ dostajemy

$$w(x)=-\frac12(x-2)(2x^2+3x-2) =-\frac12(x-2)(2x-1)(x+2).$$

Pozostałe pierwiastki to $\frac12$ i $-2$.

Z twierdzenia Bézouta wymagamy, aby wartość $w$ w miejscu zerowym dwumianu $q$ była równa zero.

a)

$$w(-3)=-27+45-3m+3=21-3m.$$

Warunek $w(-3)=0$ daje $m=7$.

b)

$$w(2)=-16+4m^2+2-6=4m^2-20.$$

Stąd

$$m^2=5,$$

czyli $m=-\sqrt5$ lub $m=\sqrt5$.

c)

$$w(-1)=-m^2+m-1+7=-m^2+m+6.$$

Zatem

$$m^2-m-6=0 \iff (m-3)(m+2)=0,$$

więc $m=3$ lub $m=-2$.

Jeżeli $u$ jest iloczynem różnych czynników liniowych, to $w$ jest podzielny przez $u$ dokładnie wtedy, gdy zeruje się w każdym miejscu zerowym $u$.

a) Miejsca zerowe $u$ to $1$ i $-3$. Obliczamy

$$w(1)=1+1-4+5-3=0,$$ $$w(-3)=81-27-36-15-3=0.$$

Wielomian $w$ jest więc podzielny przez $u$.

b) Mamy

$$u(x)=(2x-1)(x+1),$$

więc jego miejsca zerowe to $\frac12$ oraz $-1$. Tymczasem

$$w\left(\frac12\right)=\frac{15}{8}\ne0, \qquad w(-1)=-15\ne0.$$

Wielomian $w$ nie jest podzielny przez $u$.

c) Miejsca zerowe $u$ to $-1,-2,2$. Sprawdzamy

$$w(-1)=0, \qquad w(-2)=0, \qquad w(2)=0.$$

Zatem $w$ jest podzielny przez $u$.

Reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia ma postać $r(x)=ax+b$. Jeżeli dzielnik zeruje się dla $x=x_0$, to $w(x_0)=r(x_0)$.

a) Dzielnik ma miejsca zerowe $3$ oraz $-2$. Otrzymujemy układ

$$\begin{cases} 3a+b=7,\\ -2a+b=-3. \end{cases}$$

Po odjęciu równań mamy $5a=10$, więc $a=2$, a następnie $b=1$. Stąd

$$r(x)=2x+1.$$

b) Ponieważ

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),$$

układ dla reszty ma postać

$$\begin{cases} a+b=-1,\\ 2a+b=3. \end{cases}$$

Zatem $a=4$, $b=-5$ i

$$r(x)=4x-5.$$

Szukana reszta ma postać $r(x)=ax+b$. Wyznaczamy ją z wartości wielomianu $w$ w miejscach zerowych dzielnika.

a) Miejsca zerowe $u$ to $-1$ i $2$. Mamy

$$w(-1)=-1+33+11=43,$$ $$w(2)=2^7-33\cdot2+11=128-66+11=73.$$

Zatem

$$\begin{cases} -a+b=43,\\ 2a+b=73. \end{cases}$$

Stąd $3a=30$, czyli $a=10$, oraz $b=53$. Otrzymujemy

$$r(x)=10x+53.$$

b) Dzielnik $x^2-1$ ma miejsca zerowe $-1$ i $1$. Obliczamy

$$w(-1)=-2, \qquad w(1)=0.$$

Warunki

$$-a+b=-2, \qquad a+b=0$$

dają $a=1$, $b=-1$. Zatem

$$r(x)=x-1.$$