NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 86

Reszta z dzielenia $w(x)$ przez $x-a$ jest równa $w(a)$.

a) Dwumian $x+1$ ma postać $x-(-1)$, zatem

$$w(-1)=3+11-8-6=0.$$

b)

$$w(2)=-2\cdot2^4+10\cdot2^2+2-8 =-32+40+2-8=2.$$

c)

$$w\left(\frac12\right) =8\cdot\frac18+4\cdot\frac14+4\cdot\frac12-4 =1+1+2-4=0.$$

Ponieważ $a$ jest pierwiastkiem, wielomian jest podzielny przez $x-a$.

a) Dzielimy przez $x+4$:

$$w(x)=(x+4)(x^2+x-2)=(x+4)(x+2)(x-1).$$

Pozostałe pierwiastki to $-2$ i $1$.

b) Po podzieleniu przez $x-1$ otrzymujemy

$$w(x)=(x-1)(x^2+3x+1).$$

Wyróżnik trójmianu wynosi $5$, więc jego pierwiastki są równe

$$x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.$$

Stąd

$$w(x)=(x-1) \left(x+\frac{3-\sqrt5}{2}\right) \left(x+\frac{3+\sqrt5}{2}\right).$$

c)

$$w(x)=(x+2)(x^2-3x-4)=(x+2)(x+1)(x-4).$$

Pozostałe pierwiastki to $-1$ i $4$.

d)

$$w(x)=(x-3)(x^2-x-6)=(x-3)^2(x+2).$$

Poza podanym pierwiastkiem $3$ otrzymujemy ponownie $3$ oraz $-2$.