NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 84

Załóżmy, że przy dzieleniu wielomianu $w$ przez $x-a$ otrzymujemy iloraz $p$ i resztę $r$. Wtedy

$$w(x)=p(x)(x-a)+r.$$

Podstawiamy $x=a$:

$$w(a)=p(a)(a-a)+r=p(a)\cdot0+r=r.$$

Reszta z dzielenia wielomianu $w$ przez $x-a$ jest więc równa $w(a)$, co dowodzi twierdzenia o reszcie.

Z twierdzenia o reszcie wynika, że reszta z dzielenia przez $x-a$ jest równa $w(a)$.

a) Tutaj $q(x)=x-3$, więc

$$r=w(3)=3^3-2\cdot3^2-2\cdot3-3=27-18-6-3=0.$$

b) Tutaj $q(x)=x-\frac12$, zatem

$$\begin{aligned} r=w\left(\frac12\right) &=4\cdot\frac18-4\cdot\frac14-\frac12+1\\ &=\frac12-1-\frac12+1=0. \end{aligned}$$

c) Ponieważ $q(x)=x+1=x-(-1)$, mamy

$$r=w(-1)=-1+1-1-1+1=-1.$$

d) Ponieważ $q(x)=x+2=x-(-2)$, mamy

$$r=w(-2)=-32+16+8+2+6=0.$$