NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 83

a)

$$(x-m)(x+7)=x^2+(7-m)x-7m.$$

Porównanie współczynnika przy $x$ daje $7-m=4$, czyli $m=3$. Wtedy także $-7m=-21$.

b)

$$\left(\frac12mx-2\right)(x+2m+1) =\frac m2x^2+\left(\frac m2(2m+1)-2\right)x-2(2m+1).$$

Współczynnik przy $x^2$ ma być równy $1$, zatem $m=2$. Dla tej wartości współczynnik przy $x$ wynosi $5-2=3$, a wyraz wolny $-10$.

c)

$$(mx+1)(x-2m)=mx^2+(1-2m^2)x-2m.$$

Porównanie współczynnika przy $x^2$ wymaga $m=2$, natomiast porównanie wyrazu wolnego wymaga $-2m=1$, czyli $m=-\frac12$. Warunków tych nie można spełnić jednocześnie.

Rozwijamy prawą stronę i porównujemy współczynniki wielomianów.

a)

$$(x^3+x^2+x+1)(x-m) =x^4+(1-m)x^3+(1-m)x^2+(1-m)x-m.$$

Z porównania współczynnika przy $x^3$ mamy $1-m=-1$, więc $m=2$. Dla tej wartości pozostałe współczynniki również są równe odpowiednio $-1,-1,-2$.

b)

$$\begin{aligned} &(x^3+2x^2+2x-1)(x-m)\\ &\qquad=x^4+(2-m)x^3+(2-2m)x^2+(-1-2m)x+m. \end{aligned}$$

Warunek $2-m=0$ daje $m=2$. Wtedy kolejne współczynniki wynoszą $-2,-5,2$, zgodnie z lewą stroną.

c)

$$(x^2+2x-15)(x-m) =x^3+(2-m)x^2+(-15-2m)x+15m.$$

Z warunku $2-m=-2$ otrzymujemy $m=4$. Wówczas współczynnik przy $x$ jest równy $-23$, a wyraz wolny $60$.

a)

$$(x^2+ax+5)(x-3) =x^3+(a-3)x^2+(5-3a)x-15.$$

Z równania $a-3=-1$ mamy $a=2$; wtedy $5-3a=-1$.

b)

$$(x^2+ax-5)(x+4) =x^3+(a+4)x^2+(4a-5)x-20.$$

Warunek $a+4=1$ daje $a=-3$, a wówczas $4a-5=-17$.

c)

$$(2x^2+ax+9)(x+2) =2x^3+(a+4)x^2+(2a+9)x+18.$$

Z warunku $a+4=-4$ otrzymujemy $a=-8$; wtedy $2a+9=-7$.

Wielomian $u\cdot v-w$ jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy $u\cdot v=w$.

a)

$$\begin{aligned} (-x+4)(2x^2+ax+b) &=-2x^3+(8-a)x^2+(4a-b)x+4b. \end{aligned}$$

Porównujemy współczynniki z wielomianem $w$:

$$8-a=6,\qquad 4a-b=5,\qquad 4b=12.$$

Pierwsze równanie daje $a=2$, a trzecie $b=3$; te wartości spełniają również równanie środkowe.

b)

$$(2ax+b)(x^2-x) =2ax^3+(b-2a)x^2-bx.$$

Z porównania współczynników otrzymujemy

$$2a=1,\qquad b-2a=-6,\qquad -b=5.$$

Stąd $a=\frac12$ i $b=-5$; równanie środkowe także jest spełnione.

a)

$$\begin{aligned} &(-x^3+ax^2+bx+3)(x-5)\\ &\qquad=-x^4+(a+5)x^3+(b-5a)x^2+(3-5b)x-15. \end{aligned}$$

Porównanie współczynników daje

$$a+5=5,\qquad b-5a=-1.$$

Stąd $a=0$ i $b=-1$; wtedy również $3-5b=8$.

b)

$$\begin{aligned} &(2x^3+ax^2+bx+3)(x-1)\\ &\qquad=2x^4+(a-2)x^3+(b-a)x^2+(3-b)x-3. \end{aligned}$$

Z równań $a-2=-1$ i $b-a=2$ otrzymujemy $a=1$, $b=3$. Wtedy współczynnik przy $x$ jest równy $3-b=0$.

c)

$$\begin{aligned} &(2x^3+ax^2+bx+6)\left(x+\frac12\right)\\ &\qquad=2x^4+(a+1)x^3+\left(b+\frac a2\right)x^2 +\left(6+\frac b2\right)x+3. \end{aligned}$$

Warunki $a+1=-3$ i $b+\frac a2=0$ dają $a=-4$, $b=2$. Wówczas $6+\frac b2=7$.

Szukamy rozkładu

$$w(x)=(x^2+px+r)(x^2+qx+s),$$

gdzie $p,q,r,s$ są całkowite. Po wymnożeniu współczynniki spełniają

$$p+q=A,\quad pq+r+s=B,\quad ps+qr=C,\quad rs=D,$$

gdzie $A,B,C,D$ są kolejnymi współczynnikami danego wielomianu.

a) Ponieważ $rs=-1$, wybieramy $r=-1$, $s=1$. Warunki na pozostałe współczynniki dają $p=q=1$. Zatem

$$w(x)=(x^2+x-1)(x^2+x+1).$$

b) Dla $r=1$, $s=-1$, $p=3$, $q=-2$ otrzymujemy kolejno $p+q=1$, $pq+r+s=-6$ oraz $ps+qr=-5$. Stąd

$$w(x)=(x^2+3x+1)(x^2-2x-1).$$

c) Wybór $r=1$, $s=2$, $p=3$, $q=-2$ daje wymagane współczynniki $1,-3,4,2$, więc

$$w(x)=(x^2+3x+1)(x^2-2x+2).$$

d) Dla $r=-3$, $s=1$, $p=1$, $q=-1$ otrzymujemy współczynniki $0,-3,4,-3$. Zatem

$$w(x)=(x^2+x-3)(x^2-x+1).$$

e) Wybór $r=-5$, $s=1$, $p=-1$, $q=2$ daje współczynniki $1,-6,-11,-5$, zatem

$$w(x)=(x^2-x-5)(x^2+2x+1).$$