NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 81

W schemacie Hornera każdy kolejny współczynnik otrzymujemy, mnożąc poprzedni wynik przez argument i dodając następny współczynnik wielomianu.

a) Dla współczynników $2,-5,-4,7$ i argumentu $3$:

$$\begin{aligned} b_3&=2,\\ b_2&=3\cdot2-5=1,\\ b_1&=3\cdot1-4=-1,\\ b_0&=3\cdot(-1)+7=4. \end{aligned}$$

Ostatnia liczba jest wartością wielomianu, więc $w(3)=4$.

b) Dla współczynników $5,-6,-3,1,-1$ i argumentu $2$:

$$\begin{aligned} b_4&=5,\\ b_3&=2\cdot5-6=4,\\ b_2&=2\cdot4-3=5,\\ b_1&=2\cdot5+1=11,\\ b_0&=2\cdot11-1=21. \end{aligned}$$

Zatem $w(2)=21$.

Uzupełniamy brakujący współczynnik przy $x^2$ zerem. Pierwszy składnik ilorazu to $3x^3$, ponieważ $3x^4:x=3x^3$. Odejmujemy kolejno:

$$\begin{aligned} &(3x^4-10x^3+0x^2-29x+2)-(3x^4-12x^3)\\ &\qquad=2x^3+0x^2-29x+2,\\[2mm] &(2x^3+0x^2-29x+2)-(2x^3-8x^2)\\ &\qquad=8x^2-29x+2,\\[2mm] &(8x^2-29x+2)-(8x^2-32x)=3x+2,\\[2mm] &(3x+2)-(3x-12)=14. \end{aligned}$$

Otrzymujemy więc

$$3x^4-10x^3-29x+2 =(x-4)(3x^3+2x^2+8x+3)+14.$$

Współczynniki ilorazu $3,2,8,3$ i reszta $14$ są takie same jak liczby w ostatnim wierszu podanego schematu Hornera.

W schemacie Hornera używamy liczby $a$ takiej, że dzielnik ma postać $x-a$. Ostatnia liczba jest resztą, a wcześniejsze liczby są współczynnikami ilorazu.

a) Dla $a=3$:

$$(6,-3,-10,9)\longmapsto(6,15,35,114).$$

Zatem

$$6x^3-3x^2-10x+9=(x-3)(6x^2+15x+35)+114.$$

b) Dla $a=-2$:

$$(2,4,-10,-9)\longmapsto(2,0,-10,11).$$

Stąd

$$2x^3+4x^2-10x-9=(x+2)(2x^2-10)+11.$$

c) Uwzględniamy zerowy współczynnik przy $x$. Dla $a=2$:

$$(1,-6,6,0,-8)\longmapsto(1,-4,-2,-4,-16).$$

Zatem

$$x^4-6x^3+6x^2-8=(x-2)(x^3-4x^2-2x-4)-16.$$

d) Uwzględniamy zerowy współczynnik przy $x^3$. Dla $a=-2$:

$$(1,0,-5,-1,-2)\longmapsto(1,-2,-1,1,-4).$$

Stąd

$$x^4-5x^2-x-2=(x+2)(x^3-2x^2-x+1)-4.$$