NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 79

W każdym podpunkcie reszta z dzielenia jest równa zero. Rozkładamy więc jeszcze otrzymany iloraz na czynniki.

a)

$$w(x)=(x-1)(6x^2+x-1).$$

Ponieważ $6x^2+x-1=(3x-1)(2x+1)$, mamy

$$w(x)=6\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac13\right)(x-1).$$

b)

$$w(x)=(x+2)(2x^2+5x-3).$$

Trójmian rozkłada się jako $(2x-1)(x+3)$, zatem

$$w(x)=2(x+3)(x+2)\left(x-\frac12\right).$$

c)

$$w(x)=(x-3)(3x^2+5x-2).$$

Ponieważ $3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)$, otrzymujemy

$$w(x)=3(x+2)\left(x-\frac13\right)(x-3).$$

d)

$$w(x)=(x+4)(x^2-x-1).$$

Pierwiastki trójmianu to $\frac{1-\sqrt5}{2}$ i $\frac{1+\sqrt5}{2}$, więc

$$w(x)=(x+4) \left(x-\frac{1+\sqrt5}{2}\right) \left(x-\frac{1-\sqrt5}{2}\right).$$

Wykonujemy dzielenie pisemne, dobierając iloraz od składnika najwyższego stopnia. Reszta ma stopień mniejszy niż stopień dzielnika.

a) Ilorazem jest $-3x-1$, a resztą $-9x-8$:

$$w(x)=(-3x-1)(x^2-4)-9x-8.$$

b) Ilorazem jest $2x^2-5x+5$, a resztą $-10x+2$:

$$w(x)=(2x^2-5x+5)(x^2+x)-10x+2.$$

c) Ilorazem jest $x-1$, a resztą $7$:

$$w(x)=(x-1)(x^2+x+1)+7.$$

d) Ilorazem jest $4x^2+4$, a resztą $-2x+7$:

$$w(x)=(4x^2+4)(x^2-1)-2x+7.$$

Rozwinięcie prawych stron potwierdza wszystkie wyniki.