NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 78

Zapisujemy dzielną w postaci $w=pq+r$. Wielomian $w$ jest podzielny przez $q$ dokładnie wtedy, gdy $r=0$.

a)

$$2x^2-5x-12=(2x+3)(x-4).$$

Iloraz to $2x+3$, reszta $0$; wielomian jest podzielny.

b)

$$x^3-2x^2+3x-4=(x^2-4x+11)(x+2)-26.$$

Reszta $-26$ jest niezerowa, więc wielomian nie jest podzielny.

c)

$$-2x^4+3x^2+6 =(-2x^3-6x^2-15x-45)(x-3)-129.$$

Reszta $-129$ jest niezerowa, więc wielomian nie jest podzielny.

d)

$$4x^3+8x^2+4x-9=(4x^2-4x+16)(x+3)-57.$$

Reszta $-57$ jest niezerowa, więc wielomian nie jest podzielny.

e)

$$2x^3-x^2+3x-4=(2x^2+x+4)(x-1).$$

Reszta wynosi $0$, zatem wielomian jest podzielny.

Po dzieleniu zapisujemy wynik bezpośrednio w wymaganej postaci.

a) Iloraz to $2x^2+9x+37$, a reszta $147$:

$$w(x)=(2x^2+9x+37)(x-4)+147.$$

b) Iloraz to $x^2-3x+12$, a reszta $-29$:

$$w(x)=(x^2-3x+12)(x+3)-29.$$

c) Iloraz to $3x^3+3x^2+2x+2$, a reszta $2$:

$$w(x)=(3x^3+3x^2+2x+2)(x-1)+2.$$

d) Iloraz to $x^2+2x-1$, a reszta $2$:

$$w(x)=(x^2+2x-1)(x+6)+2.$$

e) Iloraz to $2x^2+6x$, a reszta $-2$:

$$w(x)=(2x^2+6x)\left(x+\frac12\right)-2.$$

f) Iloraz to $12x^2+4x$, a reszta $3$:

$$w(x)=(12x^2+4x)\left(x-\frac14\right)+3.$$

Wymnożenie prawych stron i dodanie reszt odtwarza wszystkie wielomiany z treści.

W każdym podpunkcie wykonujemy dzielenie, a następnie zapisujemy dzielną jako iloczyn dzielnika i ilorazu powiększony o resztę.

a) Iloraz wynosi $x^2+1$, a reszta $2$, zatem

$$w(x)=(x^2+1)(x-2)+2.$$

b) Iloraz wynosi $-2x^2+9x-27$, a reszta $85$, więc

$$w(x)=(-2x^2+9x-27)(x+3)+85.$$

c) Iloraz wynosi $x^3+2x^2-x$, a reszta jest zerowa:

$$w(x)=(x^3+2x^2-x)(x-1).$$

d) Iloraz wynosi $3x^3-6x^2+11x-13$, a reszta $25$:

$$w(x)=(3x^3-6x^2+11x-13)(x+2)+25.$$

Rozwinięcie każdej prawej strony daje podany wielomian $w$, więc wyniki dzielenia są sprawdzone.

Sprawdzamy każdą równość, mnożąc proponowany iloraz przez dzielnik.

a)

$$(x-3)(-2x^2-3x+3)=-2x^3+3x^2+12x-9.$$

Otrzymaliśmy dzielną, więc dzielenie wykonano poprawnie.

b)

$$(x-3)(-3x^2-2x+2)=-3x^3+7x^2+8x-6.$$

Współczynnik przy $x$ powinien wynosić $6$, a otrzymaliśmy $8$, więc dzielenie nie jest poprawne.

c)

$$(x-2)(3x^3-2x^2+1)=3x^4-8x^3+4x^2+x-2.$$

W dzielnej występuje $2x$, zatem dzielenie nie jest poprawne.

d)

$$\left(x-\frac12\right)(2x^3-4x+8) =2x^4-x^3-4x^2+10x-4.$$

W dzielnej występuje $4x$, a nie $10x$, więc dzielenie nie jest poprawne.