NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 75

W punkcie wspólnym wartości obu funkcji są równe, więc

$$x^3-3x^2-2x+9=2x-3.$$

Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę i pogrupowaniu:

$$x^3-3x^2-4x+12=0,$$ $$x^2(x-3)-4(x-3)=0,$$ $$(x-3)(x-2)(x+2)=0.$$

Stąd $x=-2$, $x=2$ lub $x=3$. Odpowiadające im rzędne prostej $y=2x-3$ wynoszą kolejno

$$-7,\qquad 1,\qquad 3.$$

W każdym podpunkcie przyrównujemy wartość wielomianu do rzędnej prostej.

a)

$$\frac13x^3+x+2=4x+2 \iff \frac13x(x^2-9)=0.$$

Zatem $x=-3$, $x=0$ lub $x=3$. Dla $y=4x+2$ otrzymujemy punkty

$$(-3,-10),\qquad (0,2),\qquad (3,14).$$

b)

$$4x^3-x^2-5x+3=3x+1,$$ $$4x^3-x^2-8x+2=0,$$ $$(4x-1)(x^2-2)=0.$$

Stąd $x=-\sqrt2$, $x=\frac14$ lub $x=\sqrt2$. Po podstawieniu do $y=3x+1$ dostajemy

$$(-\sqrt2,1-3\sqrt2),\qquad \left(\frac14,\frac74\right),\qquad (\sqrt2,1+3\sqrt2).$$

c)

$$x^5-4x^4+3x^3+x^2=4x-3,$$ $$x^5-4x^4+3x^3+x^2-4x+3=0,$$ $$(x+1)(x-1)(x-3)(x^2-x+1)=0.$$

Trójmian $x^2-x+1$ ma wyróżnik $-3$, więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pozostają $x=-1$, $x=1$, $x=3$. Dla $y=4x-3$ są to punkty

$$(-1,-7),\qquad (1,1),\qquad (3,9).$$

Wspólna odcięta spełnia równanie $u(x)=w(x)$. Po jej wyznaczeniu obliczamy wspólną rzędną z jednego z podanych wzorów.

a)

$$-x^3+x^2+2x-3=-x^2+2x-3,$$ $$-x^3+2x^2=-x^2(x-2)=0.$$

Zatem $x=0$ lub $x=2$. W obu przypadkach $w(x)=-3$, więc punktami wspólnymi są $(0,-3)$ i $(2,-3)$.

b)

$$\frac16x^3+x^2-2x-3 =-\frac13x^3+\frac12x^2+x-3,$$ $$\frac12x^3+\frac12x^2-3x =\frac12x(x+3)(x-2)=0.$$

Otrzymujemy $x=-3$, $x=0$, $x=2$. Odpowiadające rzędne to

$$\frac{15}{2},\qquad -3,\qquad -\frac53.$$

c)

$$\frac18x^4-x^2+x-3 =-\frac18x^4-\frac12x^2+x-1,$$ $$\frac14x^4-\frac12x^2-2 =\frac14(x^2-4)(x^2+2)=0.$$

Ponieważ $x^2+2>0$, mamy $x=-2$ lub $x=2$. Wspólne rzędne wynoszą odpowiednio $-7$ i $-3$.

W postaci iloczynowej pierwiastkom odpowiadają czynniki liniowe. Aby otrzymać stopień czwarty, jeden lub więcej czynników może wystąpić wielokrotnie.

a) Wielomian

$$w(x)=(x+\sqrt2)^2(x-\sqrt2)^2=(x^2-2)^2$$

ma stopień $4$, a jego jedynymi pierwiastkami są $-\sqrt2$ i $\sqrt2$.

b) Wielomian

$$w(x)=(x-1)^2(x-2)(x-3)$$

ma stopień $4$, a jego jedynymi pierwiastkami są $1$, $2$ i $3$.

Wielomian, którego jedynymi pierwiastkami są $-2$ i $3$, ma postać

$$w(x)=c(x+2)^k(x-3)^l,$$

gdzie $k,l$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, a $k+l=n$. Dobieramy współczynnik $c$ tak, aby $w(0)=1$.

a) Dla $n=2$ przyjmujemy $k=l=1$. Ponieważ $2\cdot(-3)=-6$, wybieramy $c=-\frac16$.

b) Dla $n=4$ przyjmujemy $k=l=2$. Wyraz wolny iloczynu bez współczynnika jest równy $2^2(-3)^2=36$, więc $c=\frac1{36}$.

c) Dla $n=6$ przyjmujemy $k=l=3$. Ponieważ $2^3(-3)^3=-216$, wybieramy $c=-\frac1{216}$.

Wszystkie krawędzie muszą być dodatnie, zatem

$$x>0,\qquad x+4>0,\qquad x-1>0.$$

Dziedziną funkcji objętości jest więc $x\in(1;\infty)$. Objętość ma wzór

$$V(x)=x(x+4)(x-1)=x^3+3x^2-4x.$$

Warunek $V(x)=12$ prowadzi do równania

$$x^3+3x^2-4x-12=0,$$ $$(x-2)(x+2)(x+3)=0.$$

Spośród liczb $2$, $-2$, $-3$ tylko $2$ należy do dziedziny.

Z dodatniości krawędzi wynika $x>3$. Warunek objętości ma postać

$$x(x-3)(x+5)=30.$$

Po przeniesieniu liczby $30$ na lewą stronę:

$$x^3+2x^2-15x-30=0,$$ $$(x+2)(x^2-15)=0.$$

Pierwiastkami są $-2$, $-\sqrt{15}$ i $\sqrt{15}$. Tylko $x=\sqrt{15}$ spełnia warunek $x>3$.

Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest równa

$$4\bigl(x+(x-3)+(x+5)\bigr)=12x+8.$$

Dla wyznaczonej wartości otrzymujemy $12\sqrt{15}+8$. Ponieważ $\sqrt{15}<4$, mamy

$$12\sqrt{15}+8<12\cdot4+8=56.$$

Teza została wykazana.

Krawędzie są dodatnie, gdy $x>\frac34$. Równanie objętości ma postać

$$x(x+1)(4x-3)=\frac34.$$

Mnożymy je przez $4$ i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

$$16x^3+4x^2-12x-3=0,$$ $$(4x+1)(4x^2-3)=0.$$

Pierwiastkami są $-\frac14$, $-\frac{\sqrt3}{2}$ oraz $\frac{\sqrt3}{2}$. Warunek dziedziny spełnia tylko

$$x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Krawędzie prostopadłościanu mają zatem długości

$$\frac{\sqrt3}{2},\qquad 1+\frac{\sqrt3}{2},\qquad 2\sqrt3-3.$$

Ponieważ $2\sqrt3-3<\frac{\sqrt3}{2}<1+\frac{\sqrt3}{2}$, najmniejsza ściana ma boki $2\sqrt3-3$ i $\frac{\sqrt3}{2}$. Jej pole wynosi

$$P=(2\sqrt3-3)\cdot\frac{\sqrt3}{2} =3-\frac{3\sqrt3}{2}.$$