NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 74

a)

$$2x^3=4x^2\iff2x^2(x-2)=0,$$

więc $x\in\{0,2\}$.

b)

$$x^5=9x^3\iff x^3(x-3)(x+3)=0,$$

więc $x\in\{-3,0,3\}$.

c)

$$x^4=-27x^3\iff x^3(x+27)=0,$$

więc $x\in\{-27,0\}$.

d)

$$x^5=8x^2\iff x^2(x^3-8)=x^2(x-2)(x^2+2x+4)=0.$$

Trójmian ma ujemny wyróżnik, zatem $x\in\{0,2\}$.

e)

$$x^5-16x=x(x^2-4)(x^2+4)=0,$$

więc $x\in\{-2,0,2\}$.

f)

$$x^6-25x^2=x^2(x^2-5)(x^2+5)=0,$$

więc $x\in\{-\sqrt5,0,\sqrt5\}$.

a)

$$x^5-2x^3+x=x(x^2-1)^2=x(x-1)^2(x+1)^2=0,$$

stąd $x\in\{-1,0,1\}$.

b)

$$x^3+3x^2+2x=x(x+1)(x+2)=0,$$

stąd $x\in\{-2,-1,0\}$.

c)

$$x^4-4x^3-5x^2=x^2(x-5)(x+1)=0,$$

stąd $x\in\{-1,0,5\}$.

d)

$$3x^4-6x^3-9x^2=3x^2(x-3)(x+1)=0,$$

stąd $x\in\{-1,0,3\}$.

e)

$$2x^5-2x^4-12x^3=2x^3(x-3)(x+2)=0,$$

stąd $x\in\{-2,0,3\}$.

f)

$$10x^4+x^3-2x^2=x^2(10x^2+x-2) =10x^2\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac25\right)=0,$$

stąd $x\in\{-\frac12,0,\frac25\}$.

g)

$$9x^6+6x^5+x^4=x^4(3x+1)^2=0,$$

stąd $x\in\{-\frac13,0\}$.

h)

$$x^5+4x^4-12x^3=x^3(x-2)(x+6)=0,$$

stąd $x\in\{-6,0,2\}$.

i)

$$x^3+5x^2+4x=x(x+1)(x+4)=0,$$

stąd $x\in\{-4,-1,0\}$.

j)

$$-\frac12x^4+x^3-\frac12x^2 =-\frac12x^2(x-1)^2=0,$$

stąd $x\in\{0,1\}$.

k) Po pomnożeniu przez $6$ otrzymujemy

$$x^5(x^2+3x-18)=x^5(x+6)(x-3)=0,$$

stąd $x\in\{-6,0,3\}$.

l) Po pomnożeniu przez $8$ i przeniesieniu wyrazów na jedną stronę:

$$16x^7+8x^5+x^3=x^3(4x^2+1)^2=0.$$

Ponieważ $4x^2+1>0$, jedynym rozwiązaniem jest $x=0$.

a)

$$x^3-3x^2+4x-12=(x-3)(x^2+4)=0,$$

więc $x=3$.

b)

$$2x^3-x^2-6x+3=(2x-1)(x^2-3)=0,$$

więc $x\in\{-\sqrt3,\frac12,\sqrt3\}$.

c)

$$x^4+9x^3-x-9=(x+9)(x^3-1) =(x+9)(x-1)(x^2+x+1)=0,$$

więc $x\in\{-9,1\}$.

d)

$$1-x^3-x^2+x=-(x-1)(x+1)^2=0,$$

więc $x\in\{-1,1\}$.

e)

$$x^4+x^3-8x-8=(x+1)(x^3-8)=0,$$

więc $x\in\{-1,2\}$.

f)

$$x^4+4x^3-x-4=(x+4)(x^3-1)=0,$$

więc $x\in\{-4,1\}$.

g)

$$x^3-\frac12x^2-2x+1 =\left(x-\frac12\right)(x^2-2)=0,$$

więc $x\in\{-\sqrt2,\frac12,\sqrt2\}$.

h) Mnożymy równanie przez $4$:

$$2x^3+3x^2-8x-12=(2x+3)(x^2-4)=0,$$

więc $x\in\{-2,-\frac32,2\}$.

i) Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę:

$$x^3-\frac12x^2-\frac12x+\frac14 =\left(x-\frac12\right)\left(x^2-\frac12\right)=0.$$

Stąd $x\in\{-\frac{\sqrt2}{2},\frac12,\frac{\sqrt2}{2}\}$.

Grupujemy wyrazy tak, aby otrzymać wspólny czynnik.

a)

$$x^3-9x^2+2x-18=(x-9)(x^2+2)=0.$$

Ponieważ $x^2+2>0$, jedynym rozwiązaniem jest $x=9$.

b)

$$2x^3+x^2-8x-4=(2x+1)(x^2-4) =(2x+1)(x-2)(x+2)=0.$$

Stąd $x\in\{-2,-\frac12,2\}$.

c)

$$x^5+5x^4+x^3+5x^2 =x^2(x+5)(x^2+1)=0.$$

Czynnik $x^2+1$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc $x\in\{-5,0\}$.

d)

$$3x^4-5x^3-6x^2+10x =x(3x-5)(x^2-2)=0.$$

Zatem $x\in\{-\sqrt2,0,\sqrt2,\frac53\}$.

e)

$$x^5-4x^3-8x^2+32=(x^2-4)(x^3-8)=0.$$

Pierwszy czynnik daje $x=\pm2$, a drugi $x=2$, więc zbiór rozwiązań to $\{-2,2\}$.

f)

$$x^3-3\sqrt2x^2+\sqrt2x-6 =(x-3\sqrt2)(x^2+\sqrt2)=0.$$

Drugi czynnik jest dodatni dla każdego $x\in\mathbb{R}$, zatem $x=3\sqrt2$.

a) Zgodnie ze wskazówką:

$$x^3-5x-4=x^3-x-4x-4 =(x+1)(x^2-x-4).$$

Pierwiastki trójmianu to $\frac{1-\sqrt{17}}2$ i $\frac{1+\sqrt{17}}2$, więc otrzymujemy trzy rozwiązania.

b)

$$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2).$$

Stąd $x=-2$ lub $x=1$.

c)

$$x^4-7x^2+6x=x(x^3-7x+6)$$ $$=x(x+3)(x-1)(x-2).$$

Stąd $x\in\{-3,0,1,2\}$.