NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 73

a)

$$x^3-7x^2+12x=x(x^2-7x+12)=x(x-3)(x-4)=0.$$

Zatem $x\in\{0,3,4\}$.

b)

$$-2x^4+9x^3+5x^2=-2x^2\left(x-5\right) \left(x+\frac12\right)=0.$$

Stąd $x\in\{-\frac12,0,5\}$.

c)

$$3x^3+4x^2+x=x(3x^2+4x+1)=x(3x+1)(x+1)=0.$$

Zatem $x\in\{-1,-\frac13,0\}$.

d)

$$4x^5-3x^4+2x^3=x^3(4x^2-3x+2)=0.$$

Wyróżnik trójmianu wynosi $9-32=-23<0$, więc jedynym rozwiązaniem jest $x=0$.

e)

$$2x^2-3x=x-x^3 \iff x(x^2+2x-4)=0.$$

Pierwiastki trójmianu to $-1\pm\sqrt5$, zatem $x\in\{-1-\sqrt5,0,-1+\sqrt5\}$.

f)

$$2x^6-x^5=x^5+x^4 \iff x^4(2x^2-2x-1)=0.$$

Pierwiastki trójmianu są równe $\frac{1-\sqrt3}{2}$ i $\frac{1+\sqrt3}{2}$.

Rozkładamy każdy wielomian na czynniki.

Wielomian $u$:

$$u(x)=\frac14x(x^2-x-6)=\frac14x(x+2)(x-3).$$

Jego pierwiastki to $-2$, $0$ i $3$. Na skanie takie przecięcia z osią $OX$ ma wykres C.

Wielomian $v$:

$$v(x)=\frac1{12}x(x^2-x-12)=\frac1{12}x(x+3)(x-4).$$

Jego pierwiastki to $-3$, $0$ i $4$. Odpowiada mu wykres B.

Wielomian $w$:

$$w(x)=\frac18x(x^2+2x-8)=\frac18x(x+4)(x-2).$$

Jego pierwiastki to $-4$, $0$ i $2$. Odpowiada mu wykres A.