NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 71 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyłączamy wspólną potęgę $x$ i stosujemy wzór na sumę lub różnicę sześcianów.

a)

w(x)=x(x^3+27)=x(x+3)(x^2-3x+9).

b)

w(x)=x^2(x^3-8)=x^2(x-2)(x^2+2x+4).

c)

w(x)=-x(x^3+64)=-x(x+4)(x^2-4x+16).

d)

w(x)=-\frac18x^2(x^3-512) =-\frac18x^2(x-8)(x^2+8x+64).

e)

w(x)=x^3((3x)^3+2^3) =27x^3\left(x+\frac23\right) \left(x^2-\frac23x+\frac49\right).

f)

w(x)=x^5((5x)^3-1) =125x^5\left(x-\frac15\right) \left(x^2+\frac15x+\frac1{25}\right).

Odpowiedź

a) $x(x+3)(x^2-3x+9)$ ;
b) $x^2(x-2)(x^2+2x+4)$ ;
c) $-x(x+4)(x^2-4x+16)$ ;
d) $-\frac18x^2(x-8)(x^2+8x+64)$ ;
e) $27x^3(x+\frac23)(x^2-\frac23x+\frac49)$ ;
f) $125x^5(x-\frac15)(x^2+\frac15x+\frac1{25})$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

w(x)=x^3(x+2)-8(x+2)=(x+2)(x^3-8)

=(x+2)(x-2)(x^2+2x+4).

b)

w(x)=7x^2(2x-1)+2(2x-1)=(2x-1)(7x^2+2).

c)

w(x)=2x^2(x-3)+5(x-3)=(x-3)(2x^2+5).

d)

w(x)=x^3(x-3)+(x-3)=(x-3)(x^3+1)

=(x-3)(x+1)(x^2-x+1).

e)

w(x)=\frac16x^2(3x-1)-(3x-1) =\frac16(3x-1)(x^2-6)

=\frac16(3x-1)(x-\sqrt6)(x+\sqrt6).

f)

w(x)=\frac13x^2(2x-9)-3(2x-9) =\frac13(2x-9)(x^2-9)

=\frac13(2x-9)(x-3)(x+3).

g)

w(x)=x^2(x-\sqrt2)+\sqrt2(x-\sqrt2) =(x-\sqrt2)(x^2+\sqrt2).

h)

w(x)=\sqrt3x^3(x+\sqrt2)+x(x+\sqrt2)

=\sqrt3x(x+\sqrt2)\left(x^2+\frac{\sqrt3}{3}\right).

Odpowiedź

a) $(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)$ ;
b) $(2x-1)(7x^2+2)$ ;
c) $(x-3)(2x^2+5)$ ;
d) $(x-3)(x+1)(x^2-x+1)$ ;
e) $\frac16(3x-1)(x-\sqrt6)(x+\sqrt6)$ ;
f) $\frac13(2x-9)(x-3)(x+3)$ ;
g) $(x-\sqrt2)(x^2+\sqrt2)$ ;
h) $\sqrt3x(x+\sqrt2)(x^2+\frac{\sqrt3}{3})$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie najpierw wyłączamy wspólny czynnik dwumianowy.

a)

w(x)=(x+1)(x^4-2x^2+1) =(x+1)(x^2-1)^2

=(x+1)^3(x-1)^2.

b)

w(x)=(x-2)(4x^4-4x^2+1)=(x-2)(2x^2-1)^2

=4(x-2)\left(x-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 \left(x+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2.

c)

w(x)=(3x+2)(x^4-2x^2-3) =(3x+2)(x^2-3)(x^2+1)

=3\left(x+\frac23\right)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x^2+1).

Odpowiedź

a) $(x+1)^3(x-1)^2$ ;
b) $4(x-2)(x-\frac{\sqrt2}{2})^2(x+\frac{\sqrt2}{2})^2$ ;
c) $3(x+\frac23)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x^2+1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy osobno każdy z dwóch podanych czynników.

a)

20x^3-28x^2+8x=20x\left(x-\frac25\right)(x-1),

x^4+6x^3+2x^2+12x=x(x+6)(x^2+2).

Stąd

w(x)=20x^2\left(x-\frac25\right)(x-1)(x+6)(x^2+2).

b)

-\frac14x^4-2x^3-4x^2=-\frac14x^2(x+4)^2,

x^3-7x^2-4x+28=(x-7)(x-2)(x+2).

Zatem

w(x)=-\frac14x^2(x-7)(x-2)(x+2)(x+4)^2.

c)

7x^4+14x^3-21x^2=7x^2(x+3)(x-1),

x^5-4x^3-x^2+4=(x-1)(x^2+x+1)(x-2)(x+2).

Stąd

w(x)=7x^2(x-2)(x-1)^2(x+2)(x+3)(x^2+x+1).

d)

3x^4-2x^3+\frac13x^2=3x^2\left(x-\frac13\right)^2,

x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1).

Zatem

w(x)=3x^2\left(x-\frac13\right)^2(x-1)(x+1) (x^2-x+1)(x^2+x+1).

Odpowiedź

a) $20x^2(x-\frac25)(x-1)(x+6)(x^2+2)$ ;
b) $-\frac14x^2(x-7)(x-2)(x+2)(x+4)^2$ ;
c) $7x^2(x-2)(x-1)^2(x+2)(x+3)(x^2+x+1)$ ;
d) $3x^2(x-\frac13)^2(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dodajemy i odejmujemy taki wyraz, aby otrzymać różnicę kwadratów.

a)

x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2 =(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1).

b)

4x^4+9=(2x^2+3)^2-12x^2

=4\left(x^2-\sqrt3x+\frac32\right) \left(x^2+\sqrt3x+\frac32\right).

c)

9x^4+16=(3x^2+4)^2-24x^2

=9\left(x^2-\frac23\sqrt6x+\frac43\right) \left(x^2+\frac23\sqrt6x+\frac43\right).

d)

x^4+5x^2+9=(x^2+3)^2-x^2 =(x^2-x+3)(x^2+x+3).

e)

16x^4-x^2+1=(4x^2+1)^2-9x^2

=16\left(x^2-\frac34x+\frac14\right) \left(x^2+\frac34x+\frac14\right).

f)

4x^4+8x^2+9=(2x^2+3)^2-4x^2

=4\left(x^2-x+\frac32\right) \left(x^2+x+\frac32\right).

Odpowiedź

a) $(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)$ ;
b) $4(x^2-\sqrt3x+\frac32)(x^2+\sqrt3x+\frac32)$ ;
c) $9(x^2-\frac23\sqrt6x+\frac43)(x^2+\frac23\sqrt6x+\frac43)$ ;
d) $(x^2-x+3)(x^2+x+3)$ ;
e) $16(x^2-\frac34x+\frac14)(x^2+\frac34x+\frac14)$ ;
f) $4(x^2-x+\frac32)(x^2+x+\frac32)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu, więc

w(x)=(x-1)(2x^2-3x+2) =2(x-1)\left(x^2-\frac32x+1\right).

Ostatni trójmian ma wyróżnik $-\frac74$ , więc nie rozkłada się dalej nad $\mathbb{R}$ .

b) Grupujemy względem czynnika $x+1$ :

w(x)=(x+1)(3x^2-7x+3).

Pierwiastki trójmianu to $\frac{7-\sqrt{13}}6$ i $\frac{7+\sqrt{13}}6$ , zatem

w(x)=3(x+1)\left(x-\frac{7-\sqrt{13}}6\right) \left(x-\frac{7+\sqrt{13}}6\right).

c) Sprawdzamy kolejno pierwiastki $-\frac12$ , $\frac14$ i $1$ :

w(x)=8\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac14\right)(x-1).

d) Liczba $\frac14$ jest pierwiastkiem, a po wyłączeniu odpowiedniego czynnika otrzymujemy

w(x)=64\left(x-\frac14\right) \left(x^2+\frac7{16}x+\frac1{16}\right).

Wyróżnik ostatniego trójmianu wynosi $\frac{49}{256}-\frac{64}{256}=-\frac{15}{256}<0$ , więc nie rozkłada się on na rzeczywiste czynniki liniowe.

Odpowiedź

a) $2(x-1)(x^2-\frac32x+1)$ ;
b) $3(x+1)(x-\frac{7-\sqrt{13}}6)(x-\frac{7+\sqrt{13}}6)$ ;
c) $8(x+\frac12)(x-\frac14)(x-1)$ ;
d) $64(x-\frac14)(x^2+\frac7{16}x+\frac1{16})$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem