NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 69 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyłączamy wspólną potęgę $x$ , a następnie stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

a)

4x^3-\frac19x =4x\left(x^2-\frac1{36}\right) =4x\left(x-\frac16\right)\left(x+\frac16\right).

b)

16x^5-4x^3 =16x^3\left(x^2-\frac14\right) =16x^3\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac12\right).

c)

2x^4-6x^2 =2x^2(x^2-3) =2x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).

Odpowiedź

a) $4x(x-\frac16)(x+\frac16)$ ;
b) $16x^3(x-\frac12)(x+\frac12)$ ;
c) $2x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

w(x)=x^3(x^2-2x+5),\qquad \Delta=4-20=-16<0.

Trójmian nie rozkłada się na czynniki liniowe.

b)

w(x)=x^2(x^2-x-6)=x^2(x-3)(x+2).

c)

w(x)=2x^4(x^2-2x+1)=2x^4(x-1)^2.

d)

w(x)=6x^2\left(x^2+\frac12x-\frac12\right) =6x^2\left(x-\frac12\right)(x+1).

e)

w(x)=6x\left(x^2-\frac52x+\frac32\right) =6x\left(x-\frac32\right)(x-1).

f)

w(x)=\frac34x^3\left(x^2-\frac53x-\frac23\right) =\frac34x^3\left(x+\frac13\right)(x-2).

Odpowiedź

a) $x^3(x^2-2x+5)$ , gdzie $\Delta=-16<0$ ;
b) $x^2(x-3)(x+2)$ ; c) $2x^4(x-1)^2$ ;
d) $6x^2(x-\frac12)(x+1)$ ;
e) $6x(x-\frac32)(x-1)$ ;
f) $\frac34x^3(x+\frac13)(x-2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W podpunktach a)–f) wyłączamy potęgę $x$ i rozkładamy trójmian. W dalszych podpunktach rozkładamy osobno oba podane czynniki.

a)

w(x)=x^2(x^2-5x+6)=x^2(x-2)(x-3).

b)

w(x)=x(2x^2-9x-5)=2x\left(x+\frac12\right)(x-5).

c)

w(x)=-x^3(6x^2-5x+1) =-6x^3\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac12\right).

d)

w(x)=x^2(x^2+3x+4),\qquad \Delta=9-16=-7<0.

e)

w(x)=x(x^2+\sqrt2x+1),\qquad \Delta=2-4=-2<0.

f)

w(x)=-\frac13x^3(x^2-8x-9) =-\frac13x^3(x-9)(x+1).

g)

w(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+1).

h)

w(x)=(x-4)(x+1)(x+1)(x+4) =(x-4)(x+1)^2(x+4).

i)

w(x)=2(x-3)\left(x+\frac12\right) \cdot2(x-3)\left(x-\frac12\right)

=4\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac12\right)(x-3)^2.

j)

w(x)=x(x+2)(x-1)\cdot x(x+5)(x-3)

=x^2(x-3)(x-1)(x+2)(x+5).

k)

w(x)=x^2(x-2)(x+3)\cdot x^3(x^2+2x+3)

=x^5(x-2)(x+3)(x^2+2x+3).

Ostatni trójmian ma wyróżnik $-8$ , więc nie rozkłada się na rzeczywiste czynniki liniowe.

l)

w(x)=x(x-1)(x-2)(x^2+4x+1).

Pierwiastki ostatniego trójmianu to $-2\pm\sqrt3$ , zatem

w(x)=x(x-2)(x-1)(x+2-\sqrt3)(x+2+\sqrt3).

Odpowiedź

a) $x^2(x-2)(x-3)$ ;
b) $2x(x+\frac12)(x-5)$ ;
c) $-6x^3(x-\frac13)(x-\frac12)$ ;
d) $x^2(x^2+3x+4)$ ; e) $x(x^2+\sqrt2x+1)$ ;
f) $-\frac13x^3(x-9)(x+1)$ ;
g) $(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)$ ;
h) $(x-4)(x+1)^2(x+4)$ ;
i) $4(x-\frac12)(x+\frac12)(x-3)^2$ ;
j) $x^2(x-3)(x-1)(x+2)(x+5)$ ;
k) $x^5(x-2)(x+3)(x^2+2x+3)$ ;
l) $x(x-2)(x-1)(x+2-\sqrt3)(x+2+\sqrt3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyłączamy $\frac16n$ :

S(n)=\frac16n(2n^2+3n+1) =\frac16n(n+1)(2n+1).

b) Dla $n=4$ lewa strona wynosi

1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30,

a prawa strona po użyciu rozkładu:

\frac16\cdot4\cdot5\cdot9=30.

Dla $n=5$ otrzymujemy odpowiednio

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=30+25=55,

\frac16\cdot5\cdot6\cdot11=55.

Wzór jest prawdziwy dla obu sprawdzanych wartości.

Odpowiedź

a) $S(n)=\frac16n(n+1)(2n+1)$ .

b) Dla $n=4$ obie strony są równe $30$ , a dla $n=5$ — $55$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyłączamy $\frac14n^2$ i korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy:

S(n)=\frac14n^2(n^2+2n+1)=\frac14n^2(n+1)^2.

b) Podstawiamy $n=10$ :

1^3+2^3+\ldots+10^3 =\frac14\cdot10^2\cdot11^2 =25\cdot121=3025.

Odpowiedź

a) $S(n)=\frac14n^2(n+1)^2$ .

b) $3025$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem