NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 68

Wyłączamy największy wspólny czynnik. Dla czynników kwadratowych bez oczywistej dodatniości obliczamy wyróżnik.

a)

$$w(x)=3x(x^2+4).$$

Ponieważ $x^2+4>0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$, tego czynnika nie można rozłożyć na czynniki liniowe nad $\mathbb{R}$.

b)

$$w(x)=\frac14x^4(x^2+3).$$

Czynnik $x^2+3$ jest dodatni dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

c)

$$w(x)=-6x^3(x^2+7).$$

Czynnik $x^2+7$ jest dodatni dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

d)

$$w(x)=-\sqrt2x^5(x^2+\sqrt3).$$

Czynnik $x^2+\sqrt3$ jest dodatni dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

e)

$$w(x)=x^9(7x^2-5x+1),$$ $$\Delta=(-5)^2-4\cdot7\cdot1=-3<0.$$

f)

$$w(x)=x^4\left(\frac14x^2+x+2\right),$$ $$\Delta=1^2-4\cdot\frac14\cdot2=-1<0.$$

g)

$$w(x)=-x^3(4x^2-3x+7),$$ $$\Delta=(-3)^2-4\cdot4\cdot7=-103<0.$$

h)

$$w(x)=x^3(3\sqrt2x^2-2\sqrt3x+\sqrt6),$$ $$\Delta=(-2\sqrt3)^2-4\cdot3\sqrt2\cdot\sqrt6 =12-24\sqrt3<0.$$

W każdym z podpunktów czynnik drugiego stopnia nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc nie rozkłada się na rzeczywiste czynniki liniowe.

Najpierw wyłączamy potęgę $x$, a następnie rozkładamy otrzymany trójmian kwadratowy za pomocą jego pierwiastków.

a)

$$w(x)=x^2(x^2-2x-3)=x^2(x-3)(x+1).$$

b)

$$w(x)=x^3(2x^2-x-1)=2x^3\left(x+\frac12\right)(x-1).$$

c)

$$w(x)=x(-2x^2-x+6)=-2x\left(x-\frac32\right)(x+2).$$

d)

$$w(x)=2x^3(10x^2+7x+1) =20x^3\left(x+\frac12\right)\left(x+\frac15\right).$$

e) Dla trójmianu $x^2-10x+5$ mamy

$$\Delta=80,\qquad x_{1,2}=5\mp2\sqrt5.$$

Zatem

$$w(x)=-2x(x-5+2\sqrt5)(x-5-2\sqrt5).$$

f)

$$w(x)=x^2\left(x^2-3x+\frac54\right) =x^2\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac52\right).$$

g) Pierwiastki trójmianu $2x^2-4x+1$ są równe $\frac{2-\sqrt2}{2}$ i $\frac{2+\sqrt2}{2}$, więc

$$w(x)=2x^3\left(x-\frac{2-\sqrt2}{2}\right) \left(x-\frac{2+\sqrt2}{2}\right).$$

h) Pierwiastki trójmianu $4x^2-12x+1$ są równe $\frac32-\sqrt2$ i $\frac32+\sqrt2$. Stąd

$$w(x)=4x^4\left(x-\frac32+\sqrt2\right) \left(x-\frac32-\sqrt2\right).$$