Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 66

rozdział 2. Wielomiany · temat „2.4. Wzory skróconego mnożenia” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Współczynniki odczytujemy z wierszy trójkąta Pascala. Dla różnicy podstawiamy $-b$ , więc znaki kolejnych wyrazów są naprzemienne.

a) Wiersz dla $n=7$ ma współczynniki $1,7,21,35,35,21,7,1$ , zatem

(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4 +21a^2b^5+7ab^6+b^7.

(a-b)^7=a^7-7a^6b+21a^5b^2-35a^4b^3+35a^3b^4 -21a^2b^5+7ab^6-b^7.

c) Wiersz dla $n=8$ ma współczynniki $1,8,28,56,70,56,28,8,1$ :

(a+b)^8=a^8+8a^7b+28a^6b^2+56a^5b^3+70a^4b^4 +56a^3b^5+28a^2b^6+8ab^7+b^8.

(a-b)^8=a^8-8a^7b+28a^6b^2-56a^5b^3+70a^4b^4 -56a^3b^5+28a^2b^6-8ab^7+b^8.

Odpowiedź

a) $(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$ ;

b) $(a-b)^7=a^7-7a^6b+21a^5b^2-35a^4b^3+35a^3b^4-21a^2b^5+7ab^6-b^7$ ;

c) $(a+b)^8=a^8+8a^7b+28a^6b^2+56a^5b^3+70a^4b^4+56a^3b^5+28a^2b^6+8ab^7+b^8$ ;

d) $(a-b)^8=a^8-8a^7b+28a^6b^2-56a^5b^3+70a^4b^4-56a^3b^5+28a^2b^6-8ab^7+b^8$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każda liczba wewnętrzna jest sumą dwóch liczb stojących nad nią. Z wiersza dla $n=8$ otrzymujemy

n=9:\quad 1,9,36,84,126,126,84,36,9,1,

a następnie

n=10:\quad 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1.

Wiersz $n=9$ daje

(a+b)^9=a^9+9a^8b+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4

\qquad+126a^4b^5+84a^3b^6+36a^2b^7+9ab^8+b^9.

Dla $(a-b)^{10}$ znaki przy nieparzystych potęgach $b$ są ujemne:

(a-b)^{10}=a^{10}-10a^9b+45a^8b^2-120a^7b^3+210a^6b^4

\qquad-252a^5b^5+210a^4b^6-120a^3b^7+45a^2b^8-10ab^9+b^{10}.

Odpowiedź

$n=9$ : $1,9,36,84,126,126,84,36,9,1$ ; $n=10$ : $1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1$ .

(a+b)^9=a^9+9a^8b+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4 +126a^4b^5+84a^3b^6+36a^2b^7+9ab^8+b^9.

(a-b)^{10}=a^{10}-10a^9b+45a^8b^2-120a^7b^3+210a^6b^4 -252a^5b^5+210a^4b^6-120a^3b^7+45a^2b^8-10ab^9+b^{10}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw podnosimy każde wyrażenie do kwadratu, a potem ponownie do kwadratu albo do sześcianu.

(\sqrt2+1)^2=3+2\sqrt2,

(\sqrt2+1)^4=(3+2\sqrt2)^2=17+12\sqrt2.

(\sqrt3-1)^2=4-2\sqrt3,

(\sqrt3-1)^4=(4-2\sqrt3)^2=28-16\sqrt3 =4(7-4\sqrt3).

(\sqrt2+1)^3=(3+2\sqrt2)(\sqrt2+1)=7+5\sqrt2,

(\sqrt2+1)^6=(7+5\sqrt2)^2=99+70\sqrt2.

(\sqrt3-1)^3=(4-2\sqrt3)(\sqrt3-1)=6\sqrt3-10,

(\sqrt3-1)^6=(6\sqrt3-10)^2=208-120\sqrt3 =8(26-15\sqrt3).

Odpowiedź

a) $17+12\sqrt2$ ; b) $4(7-4\sqrt3)$ ;
c) $99+70\sqrt2$ ; d) $8(26-15\sqrt3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem