NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 65

W każdym podpunkcie najpierw grupujemy trzy czynniki tworzące sumę albo różnicę sześcianów.

a)

$$(x+5)^2(x^2-5x+25) =(x+5)(x^3+125) =x^4+5x^3+125x+625.$$

b)

$$(x^2+5x+25)(x-5)^2 =(x^3-125)(x-5) =x^4-5x^3-125x+625.$$

c)

$$(3x-1)^2(9x^2+3x+1) =(3x-1)(27x^3-1) =81x^4-27x^3-3x+1.$$

d)

$$(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1) =(x^3-1)(x^3+1) =x^6-1.$$

a)

$$(x+\sqrt2)(x-\sqrt2)(x^4+2x^2+4) =(x^2-2)(x^4+2x^2+4)=x^6-8.$$

Dla $x=\sqrt[3]{9}$ mamy $x^6=81$, zatem wartość wyrażenia wynosi $73$.

b)

$$(9x^2-6x+4)(3x+2)=(3x)^3+2^3=27x^3+8.$$

Ponieważ $x^3=-\frac13$, otrzymujemy $27\cdot(-\frac13)+8=-1$.

c) Korzystamy z sumy dwóch sześcianów:

$$(x-\sqrt5)^3+(x+\sqrt5)^3=2x^3+30x.$$

Stąd całe wyrażenie jest równe

$$2x^3+30x-2x(x^2-25)=80x.$$

Dla $x=\frac1{40}$ otrzymujemy $2$.

d) Oba iloczyny są sumą lub różnicą sześcianów:

$$(x+\sqrt5)(x^2-\sqrt5x+5)=x^3+5\sqrt5,$$ $$(\sqrt5-x)(x^2+\sqrt5x+5)=5\sqrt5-x^3.$$

Ich różnica wynosi $2x^3$, czyli dla $x=\sqrt[3]{4}$ jest równa $8$.

a)

$$(x+3)(x^2-3x+9)=x^3+27.$$

Równanie ma więc postać $x^3+27=x^3+x$, skąd $x=27$.

b)

$$(x-4)(x^2+4x+16)=x^3-64.$$

Zatem $x^3-64=x^3+8x$, czyli $x=-8$.

c)

$$(4x^2+2x+1)(2x-1)=(2x)^3-1=8x^3-1.$$

Stąd $8x^3-1=26$, więc $x^3=\frac{27}{8}$ i $x=\frac32$.

d) Przyjmujemy $a=\frac12x$ i $b=2$. Wtedy

$$\left(\frac14x^2-x+4\right)\left(\frac12x+2\right) =a^3+b^3=\frac18x^3+8.$$

Otrzymujemy

$$\frac18x^3+8=-9,$$

czyli $x^3=-136$ i $x=-2\sqrt[3]{17}$.

a) Licznik przekształcamy kolejno:

$$(a-1)(a^3+a^2+a+1)=a^4-1=(a^2-1)(a^2+1).$$

Ponieważ $a^2+1>0$, możemy skrócić ułamek:

$$\frac{(a^2-1)(a^2+1)}{a^2+1}=a^2-1.$$

b) Dla $a\neq1$ zachodzi

$$(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)=a^5-1.$$

Zatem

$$\frac{(a^4+a^3+a^2+a+1)(a-1)(a+1)}{a^5-1}=a+1.$$

a) Wielokrotnie stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

$$a^8-b^8=(a^4-b^4)(a^4+b^4) =(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4),$$ $$a^8-b^8=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4).$$

Otrzymaliśmy prawą stronę podanej równości.

b) Najpierw traktujemy wyrażenie jako różnicę sześcianów:

$$a^9-b^9=(a^3-b^3)(a^6+a^3b^3+b^6).$$

Ponieważ

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$

to

$$a^9-b^9=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^6+a^3b^3+b^6).$$

To jest prawa strona podanej równości.

a) Rozkładamy różnicę szóstych potęg na sumę i różnicę sześcianów:

$$a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3).$$

Stąd

$$a^6-b^6=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

b) Najpierw korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów:

$$a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4).$$

Czynnik czwartego stopnia rozkładamy jako różnicę kwadratów:

$$a^4-a^2b^2+b^4 =(a^2+b^2)^2-3a^2b^2$$ $$=(a^2+\sqrt3ab+b^2)(a^2-\sqrt3ab+b^2).$$

Dla $n=0$ obie rozważane liczby są równe $0$, więc mają wskazaną podzielność. Niech teraz $n\geqslant1$.

a) Korzystamy z rozkładu różnicy potęg:

$$4^n-1=(4-1)(4^{n-1}+4^{n-2}+\ldots+4+1).$$

Pierwszy czynnik jest równy $3$, a drugi jest liczbą całkowitą, więc $4^n-1$ jest podzielne przez $3$.

b) Analogicznie

$$7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+7^{n-2}+\ldots+7+1).$$

Pierwszy czynnik jest równy $6$, zatem $7^n-1$ jest podzielne przez $6$.

a) Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie uzupełniające sumę sześcianów:

$$\frac1{\sqrt[3]{2}+1} \cdot\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1} {\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1} =\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{2+1}.$$

b) Korzystamy z różnicy sześcianów:

$$\frac5{2-\sqrt[3]{3}} \cdot\frac{4+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}} {4+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}} =\frac{5(4+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{8-3}.$$

c) W mianowniku otrzymujemy sumę sześcianów:

$$\frac{10}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} \cdot\frac{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}} {\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$$ $$=\frac{10(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{3+2} =2(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}).$$

d) Dla $a=3$ i $b=2\sqrt[3]{2}$ mnożymy przez $a^2+ab+b^2$:

$$\frac{11}{3-2\sqrt[3]{2}} \cdot\frac{9+6\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}} {9+6\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}}$$ $$=\frac{11(9+6\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4})}{27-16} =9+6\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}.$$