NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 64 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzory na sześcian sumy i różnicy.

a)

(x+4)^3=x^3+12x^2+48x+64.

b)

(x+5)^3=x^3+15x^2+75x+125.

c)

(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8.

d)

(x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27.

e)

(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1.

f)

(5x-1)^3=125x^3-75x^2+15x-1.

g)

(x-\sqrt2)^3=x^3-3\sqrt2x^2+6x-2\sqrt2.

h)

(x+\sqrt3)^3=x^3+3\sqrt3x^2+9x+3\sqrt3.

Odpowiedź

a) $x^3+12x^2+48x+64$ ;
b) $x^3+15x^2+75x+125$ ;
c) $x^3-6x^2+12x-8$ ;
d) $x^3-9x^2+27x-27$ ;
e) $8x^3+12x^2+6x+1$ ;
f) $125x^3-75x^2+15x-1$ ;
g) $x^3-3\sqrt2x^2+6x-2\sqrt2$ ;
h) $x^3+3\sqrt3x^2+9x+3\sqrt3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Objętość sześcianu o krawędzi $a$ jest równa $V=a^3$ .

a)

V=(\sqrt2-1)^3=2\sqrt2-6+3\sqrt2-1=5\sqrt2-7.

b)

V=(3+\sqrt2)^3=27+27\sqrt2+18+2\sqrt2=45+29\sqrt2.

c)

V=(2\sqrt5-1)^3=40\sqrt5-60+6\sqrt5-1=46\sqrt5-61.

d)

\begin{aligned} V&=(\sqrt6+\sqrt2)^3\\ &=6\sqrt6+18\sqrt2+6\sqrt6+2\sqrt2\\ &=12\sqrt6+20\sqrt2. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $V=5\sqrt2-7$ ;
b) $V=45+29\sqrt2$ ;
c) $V=46\sqrt5-61$ ;
d) $V=4(3\sqrt6+5\sqrt2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z zależności

A^3+B^3=(A+B)\bigl((A+B)^2-3AB\bigr)

oraz

A^3-B^3=(A-B)\bigl((A-B)^2+3AB\bigr).

a) Dla $A=1+\sqrt2$ i $B=1-\sqrt2$ mamy $A+B=2$ oraz $AB=-1$ . Zatem

A^3+B^3=2\bigl(2^2-3\cdot(-1)\bigr)=14.

b) Dla $A=4+\sqrt2$ i $B=4-\sqrt2$ mamy $A-B=2\sqrt2$ i $AB=14$ , więc

A^3-B^3=2\sqrt2(8+42)=100\sqrt2.

c) Przyjmujemy $A=2\sqrt3-1$ i $B=2\sqrt3+1$ . Wtedy $A-B=-2$ oraz $AB=11$ , zatem

A^3-B^3=-2(4+33)=-74.

d) Dla $A=\sqrt5-\sqrt2$ i $B=\sqrt5+\sqrt2$ otrzymujemy $A+B=2\sqrt5$ oraz $AB=3$ . Stąd

A^3+B^3=2\sqrt5(20-9)=22\sqrt5.

Odpowiedź

a) $14$ ; b) $100\sqrt2$ ; c) $-74$ ; d) $22\sqrt5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie stosujemy wzór na sześcian sumy lub różnicy.

a)

(2x+y)^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.

b)

(x-2y)^3=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3.

c)

(3x+2y)^3=27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3.

d)

(2x-3y)^3=8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3.

e)

\left(x+\frac13y\right)^3 =x^3+x^2y+\frac13xy^2+\frac1{27}y^3.

f)

\left(x-\frac23y\right)^3 =x^3-2x^2y+\frac43xy^2-\frac8{27}y^3.

g)

(\sqrt3x+y)^3=3\sqrt3x^3+9x^2y+3\sqrt3xy^2+y^3.

h)

\left(\frac{\sqrt3}{3}x-y\right)^3 =\frac{\sqrt3}{9}x^3-x^2y+\sqrt3xy^2-y^3.

Odpowiedź

a) $8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$ ;
b) $x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3$ ;
c) $27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3$ ;
d) $8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3$ ;
e) $x^3+x^2y+\frac13xy^2+\frac1{27}y^3$ ;
f) $x^3-2x^2y+\frac43xy^2-\frac8{27}y^3$ ;
g) $3\sqrt3x^3+9x^2y+3\sqrt3xy^2+y^3$ ;
h) $\frac{\sqrt3}{9}x^3-x^2y+\sqrt3xy^2-y^3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Objętość sześcianu o krawędzi długości $a$ wynosi $a^3$ .

a) Szukana suma jest równa

\begin{aligned} S&=(2x+2y)^3+(2x+3y)^3\\ &=(8x^3+24x^2y+24xy^2+8y^3)\\ &\quad +(8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3)\\ &=16x^3+60x^2y+78xy^2+35y^3. \end{aligned}

b) Szukana różnica ma postać

\begin{aligned} R&=(3x+y)^3-(x+3y)^3\\ &=(27x^3+27x^2y+9xy^2+y^3)\\ &\quad-(x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3)\\ &=26x^3+18x^2y-18xy^2-26y^3. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $16x^3+60x^2y+78xy^2+35y^3$ ;
b) $26x^3+18x^2y-18xy^2-26y^3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 9

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dla $n=4$ wzór ma postać

a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3).

Rozwijamy prawą stronę:

\begin{aligned} &(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)\\ &=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4\\ &=a^4-b^4. \end{aligned}

b) Dla $n=5$ otrzymujemy

a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4).

Istotnie,

\begin{aligned} &(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)\\ &=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4\\ &\quad-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5\\ &=a^5-b^5. \end{aligned}

W obu przypadkach wszystkie wyrazy pośrednie redukują się parami, co uzasadnia prawdziwość wzoru.

Odpowiedź

Wzór jest prawdziwy dla $n=4$ i dla $n=5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 10

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru na różnicę kolejnych potęg.

a) Drugi czynnik jest sumą $x^3+x^2\cdot3+x\cdot3^2+3^3$ , więc

(x-3)(x^3+3x^2+9x+27)=x^4-3^4=x^4-81.

b) Analogicznie

(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)=x^5-2^5=x^5-32.

Odpowiedź

a) $x^4-81$ ; b) $x^5-32$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem